Lepszy dowód na liczbową nierówność $e^x$

Aug 16 2020

Nierówność jest

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Udowodniłem to, dzieląc to na 3 przypadki: $-3<z<0$, $z=0$ i $0<z<3$.

Dla $z=0$, obie strony są równe.

Pozostałe 2 przypadki są wykonywane za pomocą rachunku różniczkowego. Definiować$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ a następnie wymień $|x|$ przez $x$ lub $-x$odpowiednio. Następnie po prostu sprawdź pochodne.

Ale moim zdaniem to rodzaj brutalnej siły, więc zastanawiam się, czy istnieje szybszy (mądrzejszy) sposób na pokazanie tego.

Odpowiedzi

4 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:25

Zauważ, że jeśli $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}