Lewe cosety $H$ w $G$ przegroda $G$

Jan 06 2021

Pozwolić $G$ być grupą i $H$podgrupa. Następnie lewe cosets of$H$ w $G$ przegroda $G$. W szczególności,$(1)$ każdy $a$ ∈ G jest dokładnie w jednym lewym cosecie, a mianowicie $aH$, i $(2)$ Jeśli $a, b \in G$, to albo $aH = bH$ lub $aH \cap bH = \emptyset $.

Część $(2)$skończone. Mój problem jest po części$(1)$, Próbowałem tego, ale nie jestem pewien:

Pozwolić $a\in G$, mamy to $e\in H$, więc $a\in aH$, od $a=ae$. To pokazuje że$a$ leży w jakimś lewym kosecie, mianowicie $aH$.

Teraz jeśli $a\in aH$ i $a\in bH$, mamy to $a=ae=abh$, więc $bh=e$ a zatem $a$ leży dokładnie w jednym lewym kosecie.

Czy mam rację?

Odpowiedzi

2 SaikaiPrime Jan 06 2021 at 07:12

Zakładając, że udowodniłeś (2), kontynuuję:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Dla $a,b \in G$ Udowodnij to $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Dla $a,b \in G$ Udowodnij to $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Wtedy następujące warunki są równoważne: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Od $e \in H, a=ae \in aH$. Pozwolić$a \in bH$. Następnie$aH=bH$. A zatem$a$ należy do dokładnie jednej lewej kosety.