Lokalne zachowanie modułu zlokalizowane w najlepszym ideale

Question

Pozwolić $R$ być pierścieniem przemiennym i $p,q$ być dwoma głównymi ideałami $R$ z $q\subset p$. Wiemy$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $jak pierścienie. Pozwolić$M$ fasola $R$-moduł. Czy to prawda, że$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ tak jak $R_q$-moduły?

Answer 1

Dany $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ i $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, mamy

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

który pokazuje pożądany izomorfizm.