Matematyczna definicja władzy [duplikat]
Jestem licealistą, który bawi się pewnymi równaniami i wyprowadziłem wzór, którego fizycznie nie mogę sobie wyobrazić.
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
Zróżnicowałem pracę za pomocą formuły wektorowej $\vec F \cdot \vec r$Tak więc otrzymałem tę formułę, stosując regułę iloczynu. Jeśli w tym wzorze$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (Siła jest stała), niż formuła staje się po prostu $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ co ma sens, ale ta formuła również sugeruje, że jeśli $\frac{d\vec r}{dt}=0$ wtedy staje się formuła władzy $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$, co oznacza, że jeśli prędkość wynosi zero, nie musi to oznaczać, że Moc obiektu również będzie wynosić zero!
Ale nie znajduję tego w moim podręczniku do szkoły średniej i nie mogę wymyślić żadnego przykładu na mojej głowie, gdzie ta sytuacja jest prawdziwa.
Z tego, co słyszałem i czytałem, jeśli prędkość obiektu wynosi zero, to moc również wynosi zero.
Czy ktoś może wyjaśnić moje rzekome błędne przekonanie lub podać przykład sytuacji, w której to się dzieje?
Odpowiedzi
Praca wykonywana przez siłę nie jest zdefiniowana przez $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Praca jest zamiast tego definiowana za pomocą całki po linii prostej na ścieżce (twoje równanie po prostu przypisuje pracę dla siły i pozycji, co nie jest zgodne z tym, co rozumiemy przez pracę wykonaną przez siłę). Mamy
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
Więc kiedy mamy $P=\text dW/\text dt$ po prostu mamy
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
Więc nie ma $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$termin w wyrażeniu władzy. Działa to również koncepcyjnie: moc wyjściowa siły nie powinna bezpośrednio zależeć od położenia danej cząstki (tj. Lokalizacji źródła).
Praca jest definiowana jako $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Moc P to dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.
Twój stosunek do pracy jest niewłaściwy, więc twój stosunek do władzy (związek zamknięty w twoim pytaniu) nie jest poprawny.
Jak już odpowiedzieli inni, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ jest uproszczeniem i działa tylko w szczególnym przypadku stałej $\mathbf F$. Twoje formuły też.
Jednym ze sposobów spojrzenia na to fizycznie jest zrozumienie, że praca nie jest funkcją stanowiska. Matematycznie zwykle opisujemy to używając pojęcia różniczki niedokładnej:
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
Notacja ta służy do podkreślenia faktu, że można zintegrować obie strony i uzyskać tę samą liczbę, ale nie można przestawiać tej formuły i faktycznie nie można (w ogólnym przypadku) wyrazić $\mathbf F$ za pomocą $W$.
Przykład dokładnej różnicy i na co pozwala:
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
PS Są pewne szczególne przypadki, w których możesz pisać $\mathbf F = \nabla \, W$, w tych przypadkach tak się mówi $\mathbf F$ jest potencjalną siłą.
Kiedy bierzesz derywaty, bardzo ważne jest, aby mieć jasno określoną funkcję.
W definicji pracy siła jest funkcją pozycji, a nie czasu. Oznacza to, że chociaż z pewnością możesz poruszać się w polu siłowym, które zmienia się w czasie, liczy się siła, którą mierzysz na każdym kroku na swojej ścieżce, niezależnie od tego, jak ta siła była w przeszłości lub będzie w przyszłości.
Pozostałe odpowiedzi dotyczą dziwnych rzeczy, takich jak całki i różniczki. Ta odpowiedź stara się sprostać PO tam, gdzie się znajdują: jest skierowana na poziom matematyki użytej w pytaniu i zaczyna się od wzoru$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
Przypuszczalnie powodem, dla którego zacząłeś od tej formuły, jest to, że znalazłeś ją w swoim podręczniku do szkoły średniej i uczyłaś się jej w szkole. To dlatego, że formuła jest poprawna, w przeciwieństwie do tego, co mówiły niektóre inne odpowiedzi. Ale musisz zrozumieć dwie rzeczy, aby zastosować ją poprawnie:
- To wymaga $\vec{F}$ być stałym.
- To wymaga $\vec{r}$być zmianą położenia, gdy obiekt jest poddawany działaniu siły$\vec{F}$. Byłoby lepiej napisane jako$\Delta \vec{r}$. [1]
Teraz spójrzmy na Twój problem:
gdyby $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ wtedy staje się formuła władzy $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, co oznacza, że jeśli prędkość jest równa zero, nie musi to oznaczać, że Moc obiektu również będzie wynosić zero
To stwierdzenie nie wyjaśnia dwóch rzeczy omówionych powyżej:
- Nie rozpoznaje tego $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
- Nie rozpoznaje tego $\vec{r}$, czyli naprawdę $\Delta \vec{r}$, tak naprawdę nic nie znaczy, gdy prędkość wynosi zero. (Aby rozwiązać ten punkt prawidłowo, możemy zrobić całek potrzebie - zobacz inne odpowiedzi.)
[1] Dla tych, którzy znają się na elektryczności, jest tak, jak często piszą ludzie $V$ kiedy naprawdę mają na myśli $\Delta V$.