Mathematica generuje całkę trygonometryczną ( $\sec^3$) w formie, której nie mogę udowodnić

Aug 16 2020

Oczywiście całka nieoznaczona jest $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica podaje:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

Plik $1/2 \sec(x) \tan(x)$ jest, ale spędziłem kilka godzin próbując udowodnić, że logarytm Mathematica naprawdę jest $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$i po prostu nie mogę tego zrobić! Plik$x/2$pół-kąty wrzucają dla mnie klucz do robót. Po prostu wydają mi się tak błędne, to jest jak formuła półkąta odwrócona. Dostaję pierwiastki kwadratowe tam, gdzie chciałbym zobaczyć kwadraty.

Jestem pewien, że brakuje mi czegoś oczywistego, ale po prostu tego nie widzę!

Odpowiedzi

4 flinty Aug 15 2020 at 22:13

Różniczkuj, łącz logarytmy i pracuj wstecz, używając wzorów na pół kąta i tożsamości $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Możesz się tam dostać, jeśli po raz pierwszy pokażesz:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Aby uzyskać powyższy wynik, spójrz, co się stanie, gdy umieścisz go na wspólnym mianowniku:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Licznik to oczywiście 1 według tożsamości $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ a mianownikiem jest $\cos(x)$o pół kąty. Aby to zobaczyć, rozwiń mianownik$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ dostać $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Potem będzie$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ i $1/d$ jest $\sec(x)$

... a co do reszty pochodnej:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Więc dlatego:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)