Nie rozumiem, jak działa ten wspólny plik PDF

Question

To pytanie pochodzi z MIT 6.041 OCW.

Nie rozumiem części b tego pytania, a konkretnie jak $f_X(x)$ i $f_{Y|X}(y|0.5)$ są obliczane.

O ile rozumiem, marginesowy plik PDF można uzyskać, integrując wspólny plik PDF, tj $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

To już prowadzi do wielu nieporozumień:

1. Są, jak na schemacie, dwa $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ i $3/2$. Więc integrując te dwa otrzymujemy$\frac{1}{2}y$ i $\frac{3}{2}y$ odpowiednio - taki, który ma być $f_X(x)$? I jest$f_X(x)$ pod względem $y$ nawet legalny?

2. Rozwiązanie stanowi $f_X(x)$ pod względem $x$, ale jeśli się integrujemy $f_{X,Y}(x,y)$ pod względem $y$jak mogliśmy dostać $x$?

Rozwiązanie dla $f_{Y|X}(y|0.5)$jest jeszcze dziwniejsze; czy pojedynczy punkt nie otrzymuje zerowego pliku PDF, ponieważ punkt nie ma obszaru? Jak więc można o tym mówić$X=0.5$ po pierwsze, nie mówiąc już o dopuszczeniu, aby mianownikiem było zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie?

Answer 1

Całki, o których mowa, są całkami oznaczonymi , a nie pierwotnymi. Na przykład,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Jeśli się uwzględni

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

otrzymujemy dla $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

i dla $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Dla innych mamy

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

i

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Zauważ, że ocena ostatniego wymaga całkowania odcinkowej stałej funkcji.