Nieskończenie wiele kontrprzykładów do przypuszczenia Nasha-Williamsa na temat hamiltonyczności?
Pytanie z 2013 roku daje jeden kontrprzykład do przypuszczenia Nasha-Williamsa o hamiltonowalności gęstych dwuznaków.
Później znaleźliśmy dziesiątki kontrprzykładów na ponad 30 wierzchołkach i wierzymy, że istnieje nieskończenie wiele kontrprzykładów.
Definiować $K_{x_1,x_2,...x_n}$ do pełnego digrafu wieloczęściowego z przegrodami $x_i$a każda krawędź jest zorientowana w obu kierunkach. Pozwolić$L=\max x_i$.
Przypuszczenie 1: jak $n,L$ różnią się, istnieje nieskończenie wiele kontrprzykładów
P1 Czy daje to nieskończenie wiele kontrprzykładów?
kod sagemath dla $K_{1,1,2,5}$:
G1=graphs.CompleteMultipartiteGraph((1,1,2,5)).to_directed()
sage: print G1.edges(False)
[(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (1, 0), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 0), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 0), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3)]
Dla kontrprzykładu na 15 wierzchołkach weź $x_i=(1, 1, 1, 2, 2, 8)$.
Dodano Sugerowane kontrprzykłady są błędne i były wynikiem błędu programu.
Odpowiedzi
Te przykłady są symetrycznymi dwuznakami, czyli grafami. W przypadku wykresów hipoteza Nasha-Williamsa staje się po prostu twierdzeniem Chvatala (If$G$ jest wykresem $n\geq 3$ wierzchołki z sekwencją stopni $d_1\leq d_2\leq \dots\leq d_n$ i dla wszystkich $1\leq i<n/2$, $d_i\geq i+1$ lub $d_{n-i}\geq n-i$, następnie $G$ma cykl Hamiltona). Innymi słowy, te przykłady nie mogą być kontrprzykładami dla przypuszczeń Nasha-Williamsa.
Oczywiście w tych przykładach nie ma cyklu Hamiltona, ponieważ istnieje niezależny zbiór większy niż $n/2$, ale warunek Nasha-Williamsa nie jest spełniony. Spójrz na przykład$K_{1,1,1,1,5}$na przykład; obie sekwencje stopni są$[4,4,4,4,4,8,8,8,8]$, ale $d_4=4$ i $d_{9-4}=d_5=4$.