Podstawa określania unikalnej topologii
Kiedy czytam Topologię Munkresa , mam wrażenie, że mamy podstawy$\mathscr{B}$ na zestawie $X$, to podstawa jednoznacznie określa topologię $X$; to znaczy, jeśli mamy dwie topologie$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ na tej samej podstawie $\mathscr{B}$, następnie $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Nie jestem pewien, czy mam rację, ponieważ nie widzę tego w definicji, która jest następująca:
Jeśli $X$ jest ustawiona, podstawa topologii jest włączona $X$ to kolekcja $\mathscr{B}$ podzbiorów $X$ (zwane elementami bazowymi) takie, że dla każdego $x\in X$, jest co najmniej jeden $B\in \mathscr{B}$ takie że $x\in B$ i jeśli $x\in B_1\cap B_2$, gdzie $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, to istnieje $B_3\in \mathscr{B}$ takie że $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Ponadto podstawa $\mathscr{B}$ generuje topologię
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ w U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ subset U$}\right\}$,
który jest najmniejszą topologią zawierającą $\mathscr{B}$. Stąd, myślę, że jest prawdopodobne, że te topologie, których są podstawy$\mathscr{B}$ powinno być równe $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Nawiasem mówiąc, zapoznałem się z artykułem Unikalność topologii i podstawy i jeden z komentarzy (pozostawiony przez Henno) wydaje się uzasadniać moje przeczucie i wspomniał o każdym otwartym zestawie$O$ jest połączeniem elementów $\mathscr{B}$, więc $O$ jest już w topologii $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, ale skąd mogli wiedzieć $O$można w ten sposób zapisać tylko przez definicję podstawy? To znaczy, w książce Munkresa wspomniał w lemme 13.1, z mojego rozumienia, że$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, w przeciwieństwie do stwierdzenia, że dotyczy dowolnej topologii z podstawą $\mathscr{B}$. Być może w tym momencie nie rozumiem.
Każda pomoc jest na prawdę doceniana!!
Odpowiedzi
Mówimy o tej topologii $\mathcal T$ ma podstawę $\mathcal B$ Jeśli $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Dlatego jest natychmiastowe, że jeśli dwie topologie mają tę samą podstawę, to pokrywają się.
Mówiąc to za każdego $x\in U$ jest $B_x\in\mathcal B$ takie że $x\in B_x\subseteq U$ jest równoznaczne z powiedzeniem tego $U$ jest połączeniem elementów $\mathcal B$, konkretnie $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
To, czego możesz przegapić, to to
Zbiór $\mathcal B$ podzbiorów $X$ jest podstawą topologii (czyli $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ jest topologią) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są podane warunki, tj $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ i $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Zacząłbym od definicji topologii jako zbioru wszystkich otwartych zbiorów. Zauważ teraz, że każdy pojedynczy zbiór otwarty może być zapisany jako suma teoretyczna każdego elementu bazowego, który zawiera punkt$x \in U$, to jest, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Zauważ teraz, że przy założeniu podstawy topologii zawsze możesz wziąć dwa podstawowe elementy$B_1, B_2$ z niepustym przecięciem i znajdź w nich trzeci element bazowy (nazwij to $B_3$). Niemniej jednak topologia wygenerowana przez kolekcję bez $B_3$i ten z $B_3$ jest dokładnie taka sama a wynika to z faktu, że suma teoretyczna zbioru nie zmienia się, jeśli dodamy zbiór, który jest już brany pod uwagę biorąc pod uwagę zbiory $B_1$ i $ B_2$. Takie jest znaczenie, gdy Munkres pisze, że podstawa topologii nie jest bazą dla przestrzeni wektorowej. Zatem z tego punktu widzenia można zauważyć, że skoro sumaryczna suma wszystkich (ustalonych) zbiorów otwartych jest unikalnym obiektem, to można powiedzieć, że podstawa określa topologię, ale nie odwrotnie.