Podstawowa grupa kolczyków hawajskich jest niepoliczalna
Muszę pokazać podstawową grupę kolczyków hawajskich ($H=\cup^{\infty}_{n=1}K_{n}$, gdzie $K_{n}$ to okrąg wyśrodkowany w $\frac{1}{n}$ z promieniem $\frac{1}{n}$) jest niepoliczalna, bez użycia twierdzenia Seiferta-van Kampena. Więc mam dwa pomysły dowodu:
1. uwaga $[n]_{m}$ być pętlą, która porusza się n razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $K_{m}$. Następnie$\{[n_{1}]_{1}[n_{2}]_{2}...|n_{i}\in\mathbb{Z}, i\in\mathbb{N}\}$ jest niepoliczalna, ponieważ każdy element w tym zestawie należy do $\pi_{1}(H,0)$podstawowa grupa jest zatem niepoliczalna.
2. Używając tej samej notacji powyżej, zestaw $\{[1]_{f(1)}[1]_{f(2)}...|f $ jest dowolną mapą bijektywną z $\mathbb{N} $ Do siebie$\}$ jest niepoliczalna, ponieważ $f$to zmiana kolejności liczb naturalnych i istnieje niezliczona liczba zmian kolejności. Zatem ten zbiór jako podzbiór grupy podstawowej, sama grupa jest niepoliczalna.
Czy to słuszna idea dowodu?
Odpowiedzi
Twoje pomysły są poprawne, ale musisz jasno określić, jak oceniasz dany element $\mathbb Z^{\mathbb N}$ jako element $\pi_1(H)$ i że wynikowa funkcja $\phi : \mathbb Z^{\mathbb N} \to \pi_1(H)$jest iniekcyjny. Rozwińmy 1.
Napiszmy $l_n^m : [0,1] \to K_n$ dla pętli opartej na $0$ który porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $m$ razy dookoła $K_n$. Wyraźnie,$l_n^m(t) = \frac{1}{n}(1- e^{2m\pi i t})$. Definiować
$$\psi((m_n)) : [0,1] \to H, \psi((m_n))(t) = \begin{cases}l_n^{m_n} (n(n+1)t - n) & t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \\ 0 & t = 0 \end{cases}$$ To jest dobrze zdefiniowana ciągła mapa (ponieważ każde sąsiedztwo $0$ zawiera wszystko, ale nieskończenie wiele $K_n$). Pozwolić$\phi((m_n)) = [\psi((m_n))]$, gdzie $[-]$ oznacza klasę homotopii ścieżek.
Pokażmy to $\phi$jest iniekcyjny. Jest wycofanie$r_n : H \to K_n$ który mapuje wszystko $K_r$, $r \ne n$, do $0$. Pozwolić$i_n : K_n \to H$oznaczają włączenie. Mapa$F_n = (r_n)_* \circ \phi$ ma tę właściwość, że sekwencja $(m_n)$ jest wysyłany do klasy homotopii ścieżki podanej przez $l_n^{m_n} (n(n+1)t - n)$ dla $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ i mapuje wszystkie inne $t$ do $0$. Ta ścieżka jest wyraźnie homotopiczna$l_n^{m_n}$. Tak więc, jeśli$\phi((m_n)) = \phi((m'_n))$, następnie $F_n((m_n)) = F_n((m'_n))$ dla wszystkich $n$, tj $[l_n^{m_n}] = [l_n^{m'_n}]$ dla wszystkich $n$. Ale to implikuje$m_n = m'_n$ dla wszystkich $n$.
Identyfikowanie $\pi_1(K_n)$ z $\mathbb Z$ poprzez izomorfizm $\iota_n : \mathbb Z \to \pi_1(K_n), \iota_n(m) = [l_n^m]$możemy to alternatywnie wyrazić w następujący sposób: Homomorfizm $$R : \pi_1(H) \to \mathbb Z^{\mathbb N}, R(u) = ((\iota_n)^{-1}(r_n)_*(u))$$ posiada nieruchomość $R \circ \phi = id$.
Przyjrzyj się również Podstawowej grupie stożka mapowania mapy ilorazowej od zawieszenia do zredukowanego zawieszenia .