Podstawowa grupa kolczyków hawajskich jest niepoliczalna

Nov 28 2020

Muszę pokazać podstawową grupę kolczyków hawajskich ($H=\cup^{\infty}_{n=1}K_{n}$, gdzie $K_{n}$ to okrąg wyśrodkowany w $\frac{1}{n}$ z promieniem $\frac{1}{n}$) jest niepoliczalna, bez użycia twierdzenia Seiferta-van Kampena. Więc mam dwa pomysły dowodu:

1. uwaga $[n]_{m}$ być pętlą, która porusza się n razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $K_{m}$. Następnie$\{[n_{1}]_{1}[n_{2}]_{2}...|n_{i}\in\mathbb{Z}, i\in\mathbb{N}\}$ jest niepoliczalna, ponieważ każdy element w tym zestawie należy do $\pi_{1}(H,0)$podstawowa grupa jest zatem niepoliczalna.

2. Używając tej samej notacji powyżej, zestaw $\{[1]_{f(1)}[1]_{f(2)}...|f $ jest dowolną mapą bijektywną z $\mathbb{N} $ Do siebie$\}$ jest niepoliczalna, ponieważ $f$to zmiana kolejności liczb naturalnych i istnieje niezliczona liczba zmian kolejności. Zatem ten zbiór jako podzbiór grupy podstawowej, sama grupa jest niepoliczalna.

Czy to słuszna idea dowodu?

Odpowiedzi

4 PaulFrost Nov 30 2020 at 18:25

Twoje pomysły są poprawne, ale musisz jasno określić, jak oceniasz dany element $\mathbb Z^{\mathbb N}$ jako element $\pi_1(H)$ i że wynikowa funkcja $\phi : \mathbb Z^{\mathbb N} \to \pi_1(H)$jest iniekcyjny. Rozwińmy 1.

Napiszmy $l_n^m : [0,1] \to K_n$ dla pętli opartej na $0$ który porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $m$ razy dookoła $K_n$. Wyraźnie,$l_n^m(t) = \frac{1}{n}(1- e^{2m\pi i t})$. Definiować

$$\psi((m_n)) : [0,1] \to H, \psi((m_n))(t) = \begin{cases}l_n^{m_n} (n(n+1)t - n) & t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \\ 0 & t = 0 \end{cases}$$ To jest dobrze zdefiniowana ciągła mapa (ponieważ każde sąsiedztwo $0$ zawiera wszystko, ale nieskończenie wiele $K_n$). Pozwolić$\phi((m_n)) = [\psi((m_n))]$, gdzie $[-]$ oznacza klasę homotopii ścieżek.

Pokażmy to $\phi$jest iniekcyjny. Jest wycofanie$r_n : H \to K_n$ który mapuje wszystko $K_r$, $r \ne n$, do $0$. Pozwolić$i_n : K_n \to H$oznaczają włączenie. Mapa$F_n = (r_n)_* \circ \phi$ ma tę właściwość, że sekwencja $(m_n)$ jest wysyłany do klasy homotopii ścieżki podanej przez $l_n^{m_n} (n(n+1)t - n)$ dla $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ i mapuje wszystkie inne $t$ do $0$. Ta ścieżka jest wyraźnie homotopiczna$l_n^{m_n}$. Tak więc, jeśli$\phi((m_n)) = \phi((m'_n))$, następnie $F_n((m_n)) = F_n((m'_n))$ dla wszystkich $n$, tj $[l_n^{m_n}] = [l_n^{m'_n}]$ dla wszystkich $n$. Ale to implikuje$m_n = m'_n$ dla wszystkich $n$.

Identyfikowanie $\pi_1(K_n)$ z $\mathbb Z$ poprzez izomorfizm $\iota_n : \mathbb Z \to \pi_1(K_n), \iota_n(m) = [l_n^m]$możemy to alternatywnie wyrazić w następujący sposób: Homomorfizm $$R : \pi_1(H) \to \mathbb Z^{\mathbb N}, R(u) = ((\iota_n)^{-1}(r_n)_*(u))$$ posiada nieruchomość $R \circ \phi = id$.

Przyjrzyj się również Podstawowej grupie stożka mapowania mapy ilorazowej od zawieszenia do zredukowanego zawieszenia .