Pokazują, że $2^n-1 \neq k^y$ za dziwne $y$ [duplikować]

Dec 03 2020

Dla $n\in \mathbb N$, $n>1$ Udowodnij to $$2^n-1 \neq k^y$$ dla wszystkich $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$

Zakładając za sprzeczność, że istnieje $(k,y)$ takie że $2^n-1 = k^y$, Udało mi się udowodnić, że para nie istnieje dla parzystego k i parzystego y.

Muszę udowodnić, że nie istnieje również dla dziwnego y.

W tym dowodzie muszę użyć tego

$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$

Dziękuję Ci!

Odpowiedzi

StinkingBishop Dec 03 2020 at 19:07

Gdyby $y$ jest dziwne (np $y=2z+1$), następnie:

$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$

Oznacza to, że suma w drugim nawiasie po prawej stronie ma $2z+1$ terminy, wszystkie są nieparzyste, więc cała suma jest nieparzysta.

To z kolei oznacza, że $2^n\mid k+1$ jak wszystkie wystąpienia czynnika pierwszego $2$ musi być obecny w pierwszym czynniku $k+1$.

Jednak tak jak my $k+1\mid 2^n$, to znaczy że $k+1=2^n$, tj $k=2^n-1=k^y$. Więc też$k=1$ a więc $2^n=2$, tj $n=1$ (sprzeczność) lub $k>1$, co oznacza $y=1$ (sprzeczność).