Pokazywanie zbieżności szeregu przy danej zbieżności ciągu
Pracuję nad problemem, który prosi mnie o pokazanie następujących rzeczy: Biorąc pod uwagę sekwencję liczb rzeczywistych, $(x_n), n=0,1,2,...$ takie że $x_n \rightarrow x$, pokazują, że $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ Moje podejście polega na próbie udowodnienia tego w podobny sposób, jak udowodnimy wzór na szereg geometryczny (co byłoby proste, gdyby $(x_n)$były ciągłą sekwencją). Patrząc więc na częściowe sumy powyższego szeregu, widzimy, że:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ Stąd nie mogę pozwolić $p\rightarrow 1^{-}$jednak w przeciwnym razie wszystko by się anulowało. Więc chcę to wykorzystać$x_n$ zbiega się do $x$i podejrzewam, że od tego czasu będę musiał wykorzystać fakt, że $x_n \rightarrow x$, the $(x_m - x_{m-1})$ warunki $0$ za duże $m$. Jednak nadal nie wiem, jak poradzić sobie z początkowymi warunkami w sumie, w której$(x_m - x_{m-1})$ warunki nie są bez znaczenia.
Odpowiedzi
$\epsilon>0$:
chcemy pokazać, że istnieje $\delta$ dla których jeśli $p\in\left(1-\delta,1\right)$ następnie $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. wiemy, że x_n zbiega się do x, więc istnieje N takie, że dla wszystkich n> N mamy:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. wiemy również, że:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. spójrzmy na drugą część:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
więc mamy: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
ale dla p, które jest wystarczająco bliskie 1, pierwsza część idzie do zera, a druga do x minus epsilon. Możesz więc pokazać dla właściwej delty dolną granicę, której potrzebujesz. Górną granicę można przedstawić w bardzo podobny sposób.
Mam nadzieję, że to zrozumiałe