Pozwolić $A$ być otwartym, gęstym osadzeniem $\mathbb R^n$. Udowodnij to $A + A = \mathbb R^n$

Question

Nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać. To, co próbuję udowodnić, to to, że mam trochę$x$ w $\mathbb R^n$ musi być jakiś $y$ takie, że oba $\frac x 2 + y$ i $\frac x 2 - y$ oba są w A.

Ale nie mam pojęcia, jak kontynuować. Doceniane są tylko wskazówki

Answer 1

Jeśli $A$ to gęsty zbiór otwarty $A-\frac x2$ i $\frac x2-A$są gęstymi zbiorami otwartymi, więc ich przecięcie jest gęstym zbiorem otwartym, aw szczególności jest niepuste. Wybierz punkt$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; następnie$\frac x2+y\in A$ i $\frac x2-y\in A$, więc $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.

Bardziej ogólnie, jeśli$A$ to niepusty otwarty zestaw w $\mathbb R^n$ i $B$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb R^n$, następnie $A+B=\mathbb R^n$.

Dowód. Rozważ dowolny punkt$t\in\mathbb R^n$; musimy to pokazać$t\in A+B$.

Od momentu mapowania $x\mapsto t-x$ jest homeomorfizmem, $t-A$to niepusty otwarty zbiór. Od$B$ jest gęsty, $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. Wybierz punkt$b\in B\cap(t-A)$. Następnie$b\in B$, i $b=t-a$ dla niektórych $a\in A$, więc $t=a+b\in A+B$.