Pozwolić $\{x_n\}$ być sekwencją w $(0, 1)$ takie że $x_n \to 0$. Pokaż, że sekwencja $\{f(x_n)\}$ zbiega się.
Próbuję rozwiązać następujący problem:
Przypuszczam, że $f: (0, 1) \to \mathbb R$jest jednolicie ciągła. Pozwolić$\{x_n\}$ być sekwencją w $(0, 1)$ takie że $x_n \to 0$. Pokaż, że sekwencja$\{f(x_n)\}$ zbiega się.
Myślę, że jeśli w ogóle $f(x_n)$ zbiega się, powinien się zbiegać $f(0)$ ale nie jestem pewien, z jakiego twierdzenia (?) wynika.
Po drugie, gdybyśmy powiedzieli, że mamy do czynienia z interwałem $[0, 1]$ zamiast $(0, 1)$Myślę, że mam pomysł, jak podejść. Od$f(x)$ byłby jednolicie ciągły $[0, 1]$ dla każdego $\epsilon > 0$ mielibyśmy $\delta_\epsilon$ takie, że jeśli $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ następnie $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Od,$x_n \to 0$ Myślę, że zawsze możemy wybrać jakiś $N \in \mathbb N$ takie, że dla $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Więc mamy to dla wszystkich$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ do wyboru $\epsilon > 0$.
Ale tutaj mamy do czynienia z interwałem otwartym $(0, 1)$ zamiast $[0, 1]$ i jako takie nie gwarantujemy tego dla każdego $\epsilon > 0$ mielibyśmy $\delta_\epsilon$ takie, że jeśli $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ następnie $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Dzieje się tak, ponieważ definicja jednolitej ciągłości mówi tylko:
Pozwolić $(X, d_X)$ i $(Y, d_Y)$ być dwiema przestrzeniami metrycznymi i niech $f: X \to Y$. Tak mówimy$f$ jest jednolicie ciągła iff dla wszystkich $\epsilon > 0$ tam jest $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ takie, że dla wszystkich $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
Ale pamiętaj, że w przypadku $f: (0, 1) \to \mathbb R$ punkt $0$ nie kłamie $(0, 1)$! Nie mamy więc gwarancji, że dla wszystkich$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, gdzie $X = (0, 1)$ i $Y = \mathbb R$ w tym kontekście.
Masz jakiś pomysł, jak naprawić ten dowód? Poza tym, dlaczego powinien$f(x_n)$ koniecznie zbiegają się $f(0)$ gdyby $x_n \to 0$? Czy to jest jakaś specjalna właściwość funkcji jednostajnie ciągłych?
Odpowiedzi
Pokaż, używając jednakowo ciągłości $f$, że $(f(x_n))_n$ jest sekwencją Cauchy'ego. $f(0)$ jest niezdefiniowany w Twoim ustawieniu (domena $f$ jest $(0,1)$), więc nie możesz tego wywnioskować $f(x_n) \to f(0)$. Jednak od tego czasu$\Bbb R$jest kompletna, sekwencja dopuszcza ograniczenie. Zauważ, że funkcje jednostajnie ciągłe są ciągłe, więc jeśli funkcja$g$ zdefiniowane w dniu $[0,1]$ jest więc jednolicie ciągła, a zwłaszcza ciągła, to prawda $g(x_n)\to g(0)$.
Jednym podejściem jest użycie faktu, że if $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ jest jednolicie ciągła $(a,b)$, następnie $f$ przyznaje unikalne, jednolicie ciągłe rozszerzenie do $[a,b]$. W tym przypadku możesz jednoznacznie zdefiniować wartość$f(0)$ takie że $f:[0,1)\to\mathbb{R}$jest jednolicie ciągła. Wtedy możesz to wywnioskować$f(x_n)\to f(0)$ przez ciągłość.
Dla f (x) jest ciągłe, $\forall \epsilon, \exists \delta$ takie, że kiedy $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
Dla $x_n\to 0$, $\exists N,$ takie, że kiedy $n>N, |x_n-0|<\delta$.
W związku z tym $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ zbiega się.
Korekta: jak powiedział @FormulaWriter, $f(0)$ nie jest jasno zdefiniowany, więc lepiej go wymienić $f(0)$ powyżej jak $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.