Praktycznie duże grupy o małej randze (związane z 3-rozmaitościami)
Szukam powodu, dla którego grupa 3-różnorodna $G$ to jest wirtualnie $\mathbb{Z}\times F$, $F$będąc niecyklicznym wolnym lub grupą powierzchniową, nie dopuszcza prezentacji na dwóch generatorach.
To są podstawowe grupy zamkniętych 3-rozmaitości z $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometria (dzięki @HJRW za wskazanie, że powyższy przypadek przekreślenia odpowiada niepustej granicy) i okazuje się, że wszystkie inne geometrie dopuszczają przykłady z podstawową grupą rzędu drugiego, z godnym uwagi podkreśleniem geometrii euklidesowej, w której wszystkie podstawowe grupy są wirtualnie $\mathbb{Z}^3$(i uszereguj dwa przykłady jako rozmaitości Fibonacciego). Tak więc trzy różnorodne grupy dopuszczają przykłady grup praktycznie wysokiego szczebla, które mimo to same mają niewielką rangę. Oczywiście powszechnie wiadomo, że wolna grupa na dwóch generatorach ma praktycznie arbitralnie wysoką rangę.
Jednak według Boileau i Zieschanga , Twierdzenie 1.1, ranga$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ rozmaitości zależy od rodzaju powierzchni bazowej i liczby pojedynczych włókien fibracji Seiferta (i wynosi co najmniej 3), więc jest praktycznie $\mathbb{Z}\times F$ zmusza grupę do co najmniej tej samej rangi.
Co powoduje, że ta podgrupa ogranicza rangę grupy otoczenia od dołu i, powiedzmy, grup wolnych lub wolnych od abelów $\mathbb{Z}^3$nie rób? Byłbym szczęśliwy, gdyby pojawił się tutaj trójwymiarowy, geometryczny powód, ale byłbym wdzięczny za odświeżenie również mojej ogólnej teorii grup.
Odpowiedzi
Pytanie wynika z błędnej interpretacji Twierdzenia 1.1 w artykule Boileau i Zieschanga. Twierdzenie 1.1 wyklucza sporą liczbę przypadków, w szczególności nie ma zastosowania do (całkowicie zorientowanych) zamkniętych rozmaitości Seiferta z 3 pojedynczymi włóknami i podstawą rodzaju 0. Niektóre z tych wykluczonych rozmaitości Seiferta stanowią kontrprzykład dla twojego twierdzenia o randze$\ge 3$.
Weźmy na przykład zewnętrzną stronę $N$ z a $(p,q)$- węzeł torusowy, który jest nietrywialny, a nie koniczyna. Rodzaj tego węzła to$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(ponieważ wykluczyłem koniczynę, która ma rodzaj 1). Różnorodność$N$ jest wiązką powierzchni nad okręgiem, którego włókno $F$ jest niegdyś przebitą powierzchnią rodzaju $g$. Monodromia tego fibracji jest porządkiem skończonym (w rzeczywistości porządek jest$pq$) homeomorfizm $h: F\to F$. Tak więc, jeśli załamiemy granicę$F$ wskazując, otrzymujemy zamkniętą powierzchnię $S$ z rodzaju $g$ i $h$ będzie rzutować na homeomorfizm skończonego rzędu $f: S\to S$. Torus mapujący$M=M_f$ jest rozmaitością typu Seiferta ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ uzyskane przez wypełnienie Dehna granicy $N$. Podstawa fibracji Seiferta będzie miała trzy osobliwe punkty i rodzaj 0: Dwa pojedyncze włókna pochodzą z$N$ a jeden pochodzi z solidnego torusa, do którego jest przymocowany $\partial N$w wyniku naszego wypełnienia Dehn. (Jest faktem ogólnym, że torus odwzorowujący homeomorfizm skończonego rzędu powierzchni hiperbolicznej jest rozmaitością Seiferta typu${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Od grupy $\pi_1(N)$ jest generowana przez 2, grupa ilorazów $\pi_1(M)$ jest również generowany w postaci 2.