Problem prawie wszędzie zbieżności w teorii miar

Question

Mam problem z następującym problemem

Pozwolić $(X, \mathcal{F}, \mu)$ środek przestrzeni, gdzie $\mu (X)<\infty.$ Pozwolić $f,f_n:X \to \mathbb{C}$mierzalne. Zestaw$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ gdzie $a_n>0$ i $a_n \to 0$. Pokaż, że jeśli$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ następnie $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

Często próbowałem tego problemu. Na przykład próbowałem to pokazać$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ dla wszystkich $\varepsilon>0$ używając faktów jako $\mu(A_n) \to 0$ (ponieważ szereg jest zbieżny), a nawet to podsumowanie $(a_n)$można przyjąć ścisłe zmniejszenie. W mojej „bliższej” próbie pokazałem, że co$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ jest zawarta w nieskończenie wielu zestawach $A_n$. Ale ostatecznie to nie zadziałało.

Za każdym razem, gdy podejmowałem próbę, myślałem: „Jestem bardzo blisko rozwiązania”… ale coś się nie udało.

Czy mógłbyś mi pomóc rozwiązać ten problem?

Answer 1

Najpierw zauważ, że zestaw gdzie $f_n$ nie zbiegają się do $f$ jest mierzalny i można go zapisać jako $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Teraz zwróć uwagę na to pokazanie $f_n\to f$ prawie wszędzie można to porównać $A$ ma miarę $0.$ Aby to zrobić, najpierw to zauważymy $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

Od $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ jest skończona przez wybór $k$ duże, możemy zrobić $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$arbitralnie małe. Wynika, że$\mu(A)=0.$