Przestrzenie stałe są lokalnie kurczliwe

Nov 28 2020

Mam pytanie podczas czytania książki Steenroda The Topology of Fiber Bundles , sekcja 12.

Przestrzeń $Y$nazywany jest stałym if dla każdej normalnej przestrzeni$X$, podzbiór zamknięty $A$ z $X$i mapa $f:A\to Y$istnieje mapa $f':X\to Y$ takie że $f'|_A=f$.

Pozwolić $Y$ być takim solidnym $Y\times I$jest normalne. Napraw punkt$y_0\in Y$. Zwróć na to uwagę$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ jest zamkniętym podzbiorem $Y\times I$. Definiować$f:A\to Y$ przez $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ i $f(y_0,t)=y_0$. Następnie solidność$Y$ wynika z tego $f$ rozszerza do $f':Y\times I\to Y$. Teraz$f'$ jest homotopią z $\textrm{id}_Y$ do stałej mapy $Y\to y_0$. A zatem$Y$jest kurczliwy. Od$y_0$ jest arbitralne, z tego też wynika $Y$ jest lokalnie kurczliwy.

Nie rozumiem dlaczego $Y$jest lokalnie kurczliwy. W jaki sposób ten argument pokazuje, że każdy punkt$Y$ mają dowolne małe, lokalnie kurczliwe dzielnice?

Odpowiedzi

2 PaulFrost Nov 28 2020 at 10:39

Bardziej powszechną notacją dla przestrzeni stałej jest „absolutny prostownik dla normalnych przestrzeni”.

Twoja konstrukcja $f'$ pokazuje, że $(Y,y_0)$jest wskazywana kurczowo dla każdego$y_0 \in Y$. To natychmiast implikuje

Dla każdej otwartej dzielnicy $U$ z $y_0$ w $Y$ istnieje otwarte sąsiedztwo $V$ z $y_0$ w $Y$ zawarte w $U% $ takie, że włączenie $V \hookrightarrow U$ jest null-homotopiczny.

Jeśli ta właściwość jest spełniona, $Y$nazywane jest lokalnie kontraktowalnym pod adresem$y_0$. Jeśli$Y$jest skurczalny lokalnie we wszystkich swoich punktach, nazywa się to kurczliwym lokalnie .

To jest standardowa definicja. Wymóg, że każdy$y_0 \in Y$ma dowolnie małe (otwarte) dzielnice, które można skurczyć, jest silniejsze i wątpię, czy jest to prawdziwe dla wszystkich prostowników absolutnych. Powinieneś sprawdzić definicję Steenroda.

Zobacz też ANR jest skurczalny lokalnie .