Przybliżenie sumy podwójnej przez całkę podwójną
W związku z tym pytaniem interesuje mnie ograniczenie od góry poniższej sumy$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ co mam nadzieję zrobić, odnosząc to do całki $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
Odpowiedzi na poprzednie pytania potwierdziły moje oczekiwanie $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$, dla którego intuicja jest prawdopodobnie taka, że funkcja zachowuje się w przybliżeniu jak Gaussa wokół maksimum przy $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, gdzie funkcja przyjmuje wartość $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
Jednak nie udało mi się pokazać tej różnicy $|I-S|$jest znacznie mniejsza niż ta granica. W przypadku prostych całek jednowymiarowych, na przykład z unikalnym maksimum, nie jest trudno powiązać tę różnicę w kategoriach maksimum, biorąc pod uwagę odpowiednie sumy teleskopów. Jednak naiwny odpowiednik tego argumentu nie wydaje się działać w dwóch wymiarach, a próby zastosowania tego argumentu do każdego „wycinka” całki doprowadziły do dość przerażających obliczeń. Przyjrzałem się również zastosowaniu formuły Eulera-Maclaurina, ale jest to trochę poza moim obszarem specjalizacji.
Podejrzewam, że powinien istnieć stosunkowo standardowy sposób przybliżenia $|I-S|$, i nie zdziwiłbym się, gdyby ktoś bardziej biegły w informatyce mógł uzyskać CAS, aby dostarczyć dowód. Ten pierwszy byłby bardziej przydatny, tylko po to, żebym miał narzędzie do rozwiązywania podobnych pytań.
Tak więc, bardzo wyraźnie, chciałbym wiedzieć, czy $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$gdzie nawet duże-O wystarczyłoby dla aplikacji, o której myślę, i nie zdziwiłbym się, gdyby różnica była nawet ograniczona wielokrotnością maksimum funkcji. Interesują mnie asymptotyki dla$i$ i $j$ dążąc do nieskończoności, $m$ może być ustalona lub też funkcją $i$ i $j$. Do wniosku, o którym myślę, pewnie wystarczyłby taki wynik$i = (1+o(1))j$ i $m = o(i)$.
Odpowiedzi
Nie mogę udzielić konkretnej odpowiedzi, a jedynie kilka uwag i wskazówek, które mogą być pomocne.
Funkcja $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ mając (ścięty) kształt dzwonu w pierwszej ćwiartce, oznacza, że jest on wklęsły wokół maksimum i wypukły dalej od niej.
Utrudnia to powiązanie całki z sumą Riemanna za pomocą a $>, <$, ponieważ znak nierówności zmienia się w obu obszarach.
Ponadto przy wzroście $i, \, j$, podczas gdy pozycja max ruchu $\approx \sqrt{i}$i tak w przybliżeniu rozszerza się, a szczyt dzwonka rośnie $\approx i^{m/2}$.
Ponieważ$\Delta x , \, \Delta y$ kwoty są ustalone na $1$, Wątpię, żeby suma zbiegła się do całki.
Jeśli chodzi o całkę, spróbuję następującego podejścia $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ to też rozważ to $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ możemy ponownie zmienić zmienne $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ a następnie kontynuuj aproksymację lub rozszerzanie szeregowe funkcji błędu.