Przykład niezdegenerowanej zmiennej losowej z momentami nieparzystymi = 0

Question

Pomyśl o jednym przykładzie zmiennej losowej, która nie jest zdegenerowana, dla której wszystkie nieparzyste momenty są identycznie zerowe. Podaj funkcję masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej i podaj wielkość, którą może ona reprezentować.

Na początku myślałem o rzucie kostką, ponieważ nie jest zdegenerowana, ale nie wierzę, że jej dziwne momenty są równe 0. Czy ktoś jest w stanie podać przykład i pokrótce go wyjaśnić?

Answer 1

1. Ciągła zmienna losowa

Standardowy gaussowski, $X\sim N(0;1)$ Pracuje.

$$\mathbb{E}[X^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

Dowodem jest dość łatwe rozszerzenie jego MGF w serii Taylora i wyprowadzenie

Może reprezentować błąd pomiaru podczas pomiaru długości kolejnego drążka

2. Dyskretna zmienna losowa

$Y$ jest zmienną losową przyjmującą wartości $Y=\pm1$ z prawdopodobieństwem $\mathbb{P}[Y=-1]=\mathbb{P}[Y=1]=\frac{1}{2}$

$$\mathbb{E}[Y^{2n+1}]=\frac{1}{2}[(-1)^{2n+1}+1^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

$Y$ reprezentuje następującą funkcję

$$Y=2X-1$$

Gdzie $X\sim B\Big(\frac{1}{2}\Big)$, rv Bernoulliego z parametrem 0,5

Może reprezentować losowy zysk podczas gry w „rzut uczciwą monetą” $\$1 $ jeśli H i tracisz $ \$1$ jeśli T