Pytanie w Milnor & Stacheff - klasy charakterystyczne, budowa klas Cherna
Poniższy akapit pochodzi z książki:
Podamy teraz indukcyjną definicję klas charakterystycznych dla kompleksu $n$pakiet samolotów $\omega=(\pi: E\to M)$. Jeśli najpierw trzeba skonstruować kanoniczny$(n-1)$pakiet samolotów $\omega_0$ nad usuniętą całkowitą przestrzenią $E_0$. ($E_0$ oznacza zbiór wszystkich niezerowych wektorów w $E$.) Punkt w $E_0$ jest określony przez włókno $F$ z $\omega$ razem z wektorem niezerowym $v$w tym włóknie. Najpierw załóżmy, że metryka hermitowska została określona na$\omega$. Następnie włókno$\omega_0$ jest z definicji dopełnieniem ortogonalnym $v$ w przestrzeni wektorowej $F$. To jest złożona wektorowa przestrzeń wymiaru$n-1$i te przestrzenie wektorowe można bez wątpienia uważać za włókna nowej wiązki wektorów $\omega_0$ nad $E_0$.
Pytanie: Zrozumiałem, jak całkowita przestrzeń $\omega_0$definiuje. Ale jak definiowana jest topologia całej przestrzeni? Nie ma o tym wzmianki.
Odpowiedzi
Rozważ następujące mapowania:
$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}
co wywołuje pakiet pullback $\bar \pi : \pi^*E \to E$, gdzie dla każdego $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (to znaczy, włókno jest tylko włóknem $F_x$, gdzie $x = \pi(v)$). $\pi^*E$ma podaną topologię pakietu wycofywania. Od$E_0$ jest podzbiorem $E$, ograniczenie daje pakiet
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
i pakiet $\omega_0$skonstruowany w książce jest podzbiorem (1). Plus ma topologię podprzestrzeni określoną przez (1).