Pytanie w odpowiedzi użytkownika w pytaniu o każde zgłoszenie $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ ma nieskończenie wiele nieciągłości

Aug 15 2020

To konkretne pytanie:

Pokaż, że każdy bijection $ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ ma nieskończenie wiele punktów nieciągłości.

został zapytany w moim quizie.

Nie mogąc go rozwiązać, szukałem w MSE. Znalazłem to konkretne rozwiązanie.

Punkty nieciągłości funkcji bijektywnej $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Ale mam pytanie w rozwiązaniu. Ale zarówno osoba pytająca, jak i odpowiadająca nie są widoczni na stronie internetowej przez bardzo długi czas.

Więc zadaję moje wątpliwości jako osobne pytanie:

W trzeciej linii odpowiedzi podanej w powyższym linku, jak autor to wywnioskował $f(I_m)$to jest otwarta przerwa? To znaczy, że$f$mapuje otwarte interwały do ​​otwartych interwałów? Czemu?

Czy ktoś może udzielić rygorystycznej odpowiedzi?

Odpowiedzi

1 KaviRamaMurthy Aug 15 2020 at 13:14

Jeśli $f$ jest ciągły i iniekcyjny z przerwami $(a,b)$ następnie $f$jest monotoniczny. Przypuszczać$f$wzrasta. Przez IVP funkcji ciągłych obraz jest interwałem, nazwij to$I$. Załóżmy, że ten przedział zawiera jeden z punktów końcowych. Mówić$I=[t,s)$. Następnie$t=f(x)$ dla niektórych $x \in (a,b)$. Wybierz dowolną$s$ pomiędzy $a$ i $x$. Następnie$f(s) <f(x)=t$sprzeczność. Podobnie,$I$ nie może zawierać swojego właściwego punktu końcowego.

BrianM.Scott Aug 15 2020 at 13:12

Otwarty interwał to połączony zestaw i $f$ jest ciągły, więc $f[I_m]$jest połączone. Jedynymi połączonymi podzbiorami rzeczywistej linii są interwały (otwarte, półotwarte lub zamknięte), promienie (otwarte lub zamknięte) i$\Bbb R$ się, więc $f[I_m]$. Jeśli nie jesteś zaznajomiony z ogólnym topologicznym pojęciem łączności, możesz to wykazać za pomocą twierdzenia o wartości pośredniej$f[I_m]$musi należeć do jednego z tych typów. Najważniejsze jest to, że są to wypukłe podzbiory$\Bbb R$: Jeśli $x$ i $y$ są członkami jednego z tych zbiorów i $x<z<y$, następnie $z$ jest również członkiem tego zbioru.

Jak wskazano w dowodzie, $f\upharpoonright I_m$, będąc ciągłym i iniekcyjnym, jest (ściśle) monotonny, więc jest albo ściśle zachowywany, albo ściśle odwracający porządek. Od$I_m$ jest otwartym interwałem lub otwartym promieniem, to znaczy, że $f[I_m]$ musi być również otwartym interwałem lub otwartym promieniem: gdyby miał punkt końcowy, ten punkt końcowy musiałby być obrazem punktu końcowego $I_m$.