Rodzina funkcji z $f(0) = 0$ i $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ jest normalne
Mam następujące pytanie
Pozwolić $B$ być zbiorem funkcji $f$, które są analityczne na dysku jednostkowym $\mathbb{D}$ i spełnij oba $f(0) = 0$ i $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Udowodnij to$B$ to normalna rodzina.
Jest kilka części mojej odpowiedzi, co do których nie jestem pewien.
Rozważ przetłumaczoną rodzinę $g(z) = f(z) - 1$ który przyjmuje wartości w $\mathbb{C} - [0,1]$. Od$g(\mathbb{D})$ jest po prostu połączony i niezerowy, możemy zdefiniować jednowartościowe gałęzie analityczne $\sqrt{g(z)}$ w $g(\mathbb{D})$. Gdy weźmiemy pierwiastek kwadratowy, wszystkie wartości$\sqrt{g(z)}$są zawarte w półpłaszczyźnie, gdzie linia oddzielająca półpłaszczyzny zawiera początek. Wtedy, po ewentualnej rotacji, możemy to założyć$\sqrt{g(\mathbb{D}})$znajduje się w lewej półpłaszczyźnie. Teraz mogę zastosować techniki użyte w tej odpowiedzi$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ z $Re f>0$ i $f(0)=1$jest normalną rodziną, aby pokazać, że przetłumaczona rodzina (stąd$B$) to normalna rodzina.
Jedną rzeczą, której nie jestem pewien, jest to, czy mogę powiedzieć, że wszystkie wartości $\sqrt{g(z)}$są zawarte w półpłaszczyźnie, gdzie linia oddzielająca półpłaszczyzny zawiera początek. Wydaje się, że to prawda, ale nie jestem pewien. Nie wykorzystuję też całej siły tego faktu$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ ponieważ naprawdę potrzebuję tylko $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Wszelkie uwagi lub sugestie będą bardzo mile widziane.
Odpowiedzi
Twój pomysł nie do końca działa i że nie przyjąłeś założenia, że niezdegenerowany interwał został pominięty w zakresie, powinien służyć jako znak ostrzegawczy (ale oczywiście nie jest to sam w sobie dowód, że argument nie może działać ).
Żeby to zobaczyć $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ nie oznacza normalności rodziny, rozważ funkcje $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ dla $k \in \mathbb{N}$. Mamy$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ dla wszystkich $k$, i $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Ale$f_k(z)$ zbiega lokalnie równomiernie do $\infty$ w prawej półpłaszczyźnie i jednorodnie zbiega się lokalnie do $1$w lewej półpłaszczyźnie. Sekwencja nie zbiega się lokalnie równomiernie w żadnym punkcie urojonej osi.
Pierwszym błędem w twojej argumentacji jest twierdzenie, że $g(\mathbb{D})$jest po prostu połączony. Nie musi tak być, rozważmy na przykład$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ gdzie $g(\mathbb{D})$ jest dopełnieniem (w płaszczyźnie) małego krążka wokół $0$. Proste połączenie$\mathbb{D}$ gwarantuje istnienie holomorficznego pierwiastka kwadratowego $\sqrt{g(z)}$, ale obraz tego wciąż może być wszystkim $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Ale podstawowa idea użycia pierwiastka kwadratowego w celu uzyskania rodziny funkcji holomorficznych z obrazem zawartym w jednej półpłaszczyźnie działa, wystarczy zrobić to trochę inaczej.
Rozważ transformację Möbiusa $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ To odwzorowuje zamknięty przedział $[1,2]$ do $[-\infty, 0]$, i $T(0) = 1$.
Korzystając z tego, możemy rozważyć rodzinę $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ gdzie używana jest główna gałąź pierwiastka kwadratowego.
Teraz, $\tilde{B}$jest tylko rodziną rozważaną w powiązanym pytaniu, stąd wiemy, że jest to normalna rodzina. Następnie pozostaje wydedukować normalność$B$z tego. (Gdyby$(h_k)$ jest więc lokalnie jednorodnie zbieżną sekwencją $(F\circ h_k)$ jest również lokalnie równomiernie zbieżny w łagodnych warunkach $F$.)