równanie funkcyjne: $f(f(x))=6x-f(x)$ [duplikować]

Question

Udowodnij, że istnieje wyjątkowa funkcja $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

Moja próba

Definiować $a_{k+1}=f(a_k)$ wtedy mamy relację rekurencyjną $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ którego równanie jest charakterystyczne $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ to znaczy $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ .Tak jak $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

utknąłem teraz, ponieważ nie mogłem znaleźć $c_1,c_2$

Answer 1

Po pracy OP: For$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, brać $a_k=t^k$ dostać $t_{1,2}=2,-3$. Wybierz tylko pozytywny korzeń do napisania$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (z założenia), następny $a_1=C. 2=2x$. Z założenia$f(x)=a_1.$ Więc masz $f(x)=2x.$

Uwaga: tutaj $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$