Różnica w proporcjach dla dwóch prób: dlaczego oszacowanie błędu standardowego nie jest problemem normalności?
Po pierwsze, wydaje się, że to bardzo częste pytanie, ale obiecuję, że długo szukałem w innych podobnych postach i nie znalazłem rozwiązania, które wydaje się dawać odpowiedź. ( To i to są bardzo bliskie, ale nie sądzę, żebym to całkiem odpowiadał!).
Będę bardzo dokładny w wyjaśnianiu mojego zamieszania, porównując go najpierw z przypadkiem proporcji jednej próbki. Moglibyśmy sprawdzić, czy prawdziwa proporcja$p$ równa się pewnej wartości $c$.
$H_0: p = c.$
$H_A: p \neq c.$
Dla $np$ i $n(1-p)$ wystarczająco duży, daje nam dwumianowe przybliżenie do normalnej $\hat{p} \sim N(p, p(1-p)/n)$. Zatem kiedy obliczamy statystykę testową,$Z := \frac{\hat{p} - c}{\sqrt{c(1-c)/n}}.$Zgodnie z hipotezą zerową rozkład ten jest normalny. Co najważniejsze, jesteśmy nie oszacowanie błędu standardowego, to zależy od hipotezy zerowej!
Teraz zamiast tego rozważymy przypadek z dwoma próbami, w którym chcemy przeprowadzić test hipotezy na podstawie różnicy w proporcjach.
$H_0: p_1 - p_2 = 0.$
$H_A: p_1 - p_2 \neq 0.$
To samo daje nam przybliżenie dwumianowe $\hat{p}_i \sim N(p_i, p_i(1-p_i)/n_i)$, $i=1,2$. A następnie, jeśli$\tilde{p}$ jest częścią połączoną ($\hat{p} = (x_1 + x_2)/(n_1+n_2)$), Wiem, że nasza statystyka testowa jest podana przez $Z := \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\tilde{p}(1-\tilde{p})(1/n_1 + 1/n_2)}}.$
To jest kluczowa część, której nie przestrzegam. W przypadku jednej próby nie oszacowaliśmy błędu standardowego - został on określony przez wartość zerową. Dlatego przytoczenie standardowej normy ma sens. W przypadku dwóch próbek, możemy nie mieć do oszacowania błędu standardowego, korzystając z naszego połączono proporcji! A więc, w zasadzie, czy nie powinniśmy być zmuszeni do dokonywania jakiejś korekty, aby to odzwierciedlić? (Tj. Jak to, co robimy z testem t).
Jak więc mam to wyjaśnić? Dlaczego nadal możemy cytować standardową normę, mimo że używamy oszacowania opartego na danych dla jej standardowego błędu?
Chociaż pytanie jest analogiczne do testu t, rozumiem, dlaczego nie możemy po prostu użyć testu t (nie mamy spełnionych innych założeń). Jak dotąd moja najlepsza próba odpowiedzi to po prostu:
„Tak, szacujemy błąd standardowy, ale przybliżenie to jest po prostu wchłaniane przez nasze pierwotne normalne przybliżenie do dwumianu, ponieważ i tak działa to tylko przy dużych stopniach swobody”?
Czy jest lepsze wyjaśnienie tego? Wydaje się intuicyjne, że konieczna byłaby pewna regulacja, ale jej nie robimy.
Aby uzyskać krótkie wyjaśnienie, dlaczego dwa cytowane przeze mnie linki wydawały się nie do końca obejmować ...
Odpowiedź @glen_b jest bardzo dobra i jasno wyjaśnia, dlaczego teoretyczne założenia wymagane dla testu t nie miałyby zastosowania. Jednak nie widzę, aby wyjaśniało to dokładnie ten problem. Wspomina zarówno jeden, jak i dwa testy proporcji próbek, a moje zamieszanie polega na tym, że nie czują, że są takie same na tym froncie. Ale to pomaga w uzyskaniu mojego najlepszego przypuszczenia powyżej, czyli tego, że dla rozmiarów próbek wystarczająco dużych dla naszego przybliżenia normalności, oszacowanie błędu standardowego jest w zasadzie nieistotne.
Podobnie @ whuber bardzo wyraźnie pokazuje (z wykresami), w jaki sposób rozkład t studenta nie przybliża naszej statystyki testowej lepiej (dla średniej wielkości próby) niż prosta standardowa norma.
Rozumiem więc, dlaczego rozkład t uczniów nie jest tutaj lepszym wyborem. Ale moje utrzymujące się zamieszanie jest proste: nawet jeśli uczeń nie jest właściwym rozwiązaniem, jak najlepiej opisać, dlaczego nie zapewniamy tutaj żadnej korekty? Widzę przypadek z jedną próbką i dwiema próbkami opisanymi jednakowo - „to normalne, ponieważ wariancja jest określana przez średnią”. Ale przypadki wydają się zupełnie inne - w jednym szacujemy błąd standardowy, w drugim nie. Czy odpowiedź jest po prostu „skoro już przybliżamy dwumianową różnicę proporcji za pomocą normy, oszacowanie błędu standardowego jest trywialne w stosunku do tego przybliżenia, więc możemy to zignorować”?
Odpowiedzi
Podobnie jak w odpowiedzi, do której tworzysz odnośnik, ponownie używasz twierdzenia Słuckiego , a konkretnie trzeciej formy (współczynnika) w linku do Wikipedii.
Jeśli piszesz $Z_n$ tak jak $X_n/Y_n$ gdzie
$$X_n = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{p_0(1-p_0)(1/n_1 + 1/n_2)}}$$
$$Y_n = \frac{\sqrt{\tilde{p}(1-\tilde{p})}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$$
gdzie $p_0$ jest wspólnym odsetkiem ludności pod zerami i $n_1$ i $n_2$ zwiększyć proporcjonalnie * (lub alternatywnie przez pozwolenie $n$ być mniejszym z $n_1$ i $n_2$ zamiast tego) to twierdzenie powinno mieć zastosowanie, i $Y_n$ zbiega się do $1$, tak jak $n\to\infty$ sekwencja $Z_n$ zbiega się do tego samego rozkładu $X_n$ robi (tj. do standardowego rozkładu normalnego).
* ta część mogłaby zostać sformalizowana na wiele podobnych możliwych sposobów, odnosząc się do sekwencji $n_1$ i $n_2$ wartości do $n$ trzymając je proporcjonalnie