Słaba topologia przestrzeni znormalizowanej
Pozwolić $X,Y$ być dwiema znormalizowanymi przestrzeniami i $T:X\rightarrow Y$ być ograniczonym operatorem liniowym. Teraz rozważ $X,Y$o słabej topologii. Moje pytanie brzmi, że tak$T$ mapy słabo zwarte zestaw $X$ do słabo zwartego zestawu $Y$ a drugie pytanie brzmi: tak $T$ pozostaje ciągłą mapą, jeśli ją wyposażymy $X,Y$ o słabej topologii.
Odpowiedzi
Gdyby $V$ jest elementem subbasis $\tau_w$ w $Y$ zawierający $0_Y$, to jest funkcjonalny $\phi:Y\to \mathbb F$ i $\epsilon>0$ takie że $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Następnie,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Teraz$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ jest (norm-) ciągłym funkcjonałem liniowym tzw $T^{-1}(V)$ jest słabo otwarty $X$ i zawiera $0_X$. Wynika, że$T$jest słaby-słaby ciągły. To daje twierdzącą odpowiedź na drugie pytanie, które z kolei daje twierdzącą odpowiedź na pierwsze.
Ta odpowiedź nie dostarcza niczego nowego, ale myślę, że wyjaśnienie w postaci sekwencji mogłoby być jaśniejsze. Kwestia zwartości wynika z ciągłości od słabej do słabej (implikacja zachodzi w przypadku dowolnych topologii), więc wystarczy pokazać tę drugą.
Przypuszczać $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Wtedy dla wszystkich$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. W szczególności każdy podwójny formularz$g\circ T$, gdzie $g\in Y^*$zadowoli $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Ale to jest sprawiedliwe $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.