Specjalna grupa liniowa jest nieredukowalnym zbiorem algebraicznym

Nov 22 2020

Pozwolić $k$ być ciałem nieskończonym (prawdopodobnie zamkniętym algebraicznie).

Próbuję udowodnić, że zestaw $n\times n$ macierze z wpisami $k$ i wyznacznik $1$, $\operatorname{SL}_n(k)$, jest odmianą afiniczną (przez odmianę afiniczną będę odnosić się do nieredukowalnego zbioru algebraicznego $\mathbb{A}_k^{n^2}$). Zostałem poinstruowany, aby udowodnić to na podstawie następujących faktów:

  1. Morfizmy między odmianami quasi-afinicznymi są ciągłe (co jest zgodne z topologiami Zariskiego).
  2. Ciągłość zachowuje nieredukowalność (to znaczy funkcja ciągła między nieredukowalnymi przestrzeniami topologicznymi ma nieredukowalny obraz).
  3. Nieredukowalne są także zbiory otwarte nieredukowalnej przestrzeni topologicznej.

Dano mi również wskazówkę, aby szukać morfizmu pomiędzy $\operatorname{GL}_n(k)$ (ogólna liniowa grupa stopni $n$ nad $k$) i $\operatorname{SL}_n(k)$.

już to wiem $\operatorname{GL}_n(k)$ jest odmianą quasi-afiniczną (tj. zbiorem otwartym odmiany afinicznej) i to $\operatorname{SL}_n(k)$jest zbiorem algebraicznym. Pozostaje mi to zobaczyć$\operatorname{SL}_n(k)$jest nieredukowalna. W trzecim poprzednim fakcie$\operatorname{GL}_n(k)=\operatorname{M}_n(k)\setminus\det^{-1}(0)$ jest nieredukowalną przestrzenią topologiczną (np $\operatorname{M}_n(k)\cong\mathbb{A}_k^{n^2}$, zestaw $n\times n$ macierze z wpisami w $k$, jest nieredukowalna od tego czasu $k$jest nieskończona). Tak więc, w drugim poprzednim fakcie, podać morfizm$\phi:\operatorname{GL}_n(k)\to\operatorname{GL}_n(k)$ którego wizerunek pokrywa się z $\operatorname{SL}_n(k)$wystarczy na dowód. Jednak mogę wymyślić tylko taką definicję morfizmu:$\phi(A)=\frac{A^n}{\det A}$ (Odwołaj to $\det$ jest jednorodny co do stopnia $n$). $\phi$ jest rzeczywiście quasi-afinicznym morfizmem odmian i konstrukcją $\operatorname{Im}\phi\subset\operatorname{SL}_n(k)$. Niemniej jednak udowodnienie odwrotnego włączenia wymagałoby udowodnienia, że$n$-ty pierwiastek dla macierzy $\operatorname{SL}_n(k)$zawsze istnieje. Ze względu na to, czego szukałem w Internecie i MSE, może to być nietrywialne lub w ogóle nieprawdziwe. Odtąd nie wiem, jak kontynuować.

Edycja: Dzięki komentarzom KReisera znalazłem dowód na nieredukowalność$\operatorname{SL}_n(k)$ co przechodzi przez udowadnianie tego $\det X-1$ jest nieredukowalny (gdzie $X=(x_{ij})$ jest $n\times n$ macierz na nieokreślonych $x_{ij}$). Problem w tym, że ten dowód jest czysto algebraiczny, a ja wciąż jestem zainteresowany znalezieniem dowodu, który wykorzystuje powyższą technikę: poszukać morfizmu odmian quasi-afinicznych$\operatorname{GL}_n(k)\to \operatorname{GL}_n(k)$ z obrazem równym $\operatorname{SL}_n(k)$. Mimo to nie mam pojęcia, jak wymyślić morfizm.

Każda pomoc w tym temacie będzie mile widziana.

Odpowiedzi

Ulam Nov 23 2020 at 17:37

Komentarze Kreisera dają odpowiedź: można to po prostu udowodnić $\det -1$jest nieredukowalna (dowód tu i tu ). Innym sposobem, podążając oryginalną ścieżką, jest rozważenie morfizmu$\operatorname{GL}_n(k)\to \operatorname{GL}_n(k)$ który przyjmuje każdą macierz $A\in \operatorname{GL}_n(k)$ i odwzorowuje go na macierz równą $A$ z wyjątkiem pierwszego rzędu, który jest równy wierszowi $A$ podzielone przez wyznacznik $A$. Łatwo jest sprawdzić, czy obraz tego morfizmu rzeczywiście jest$\operatorname{SL}_n(k)$.