$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, metoda charakterystyk równania potoków ruchu z danymi początkowymi Riemanna
Rozważamy niekonserwujące równanie$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$gdzie$a$jest stałą i$f(u)=u(1-u)$.
Próbuję rozwiązać to równanie metodą charakterystyk z warunkiem początkowym$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Metodą charakterystyki mam$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, oznacza to, że równanie charakterystyki to$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$wraz z$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
Rozwiązując te równania, dotarłem do upto$u(x,t)=ax+ g(t)$gdzie$g$jest jakąś funkcją$t$sam. Nie wiem, jak dalej postępować.
Udało mi się to rozwiązać, gdy mieliśmy równanie$$u_t+(f(u))_x=0$$jak tam$u$była stała na linii cech. Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Odpowiedzi
Zwróć uwagę, że początkowe dane$u(x,0)$składa się z nieciągłości skoku z$u_l$do$u_r$, zatem ten problem wartości początkowych jest problemem Riemanna . Popularny model przepływu ruchu Lighthill-Witham-Richards (LWR) zostanie przywrócony, gdy$a=0$, a odpowiednie rozwiązanie Riemanna jest opisane w tym poście . Zajmijmy się przypadkiem arbitralnego$a$, np. stosując podobne podejście do tego postu . Ustawienie$v = 1 - 2u$zapewnia PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$dla których metoda charakterystyki daje$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$oraz$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$co jest równoważne rozwiązaniu znalezionemu w odpowiedzi @Dmoreno. Jednak dla nieciągłych danych początkowych metoda charakterystyk nie jest wystarczająca (jest ona ważna tylko wtedy, gdy$u$jest gładka). Dlatego stosujemy odpowiednie metody do rozwiązania tego problemu w słabym tego słowa znaczeniu, patrz powiązany post . Tutaj znajdujemy rozwiązanie fali uderzeniowej$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$Jeśli$v_l > v_r$i rozwiązanie fali rozrzedzenia$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$Jeśli$v_l < v_r$. Można by sprawdzić, że to samo rozwiązanie$u = \frac{1-v}2$uzyskuje się poprzez bezpośrednie rozwiązanie początkowego problemu PDE (bez zmiany zmiennych).
Od$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$dostajesz$u - ax = c_1$i od$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$otrzymujesz$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Pozwolić$c_2 = f(c_1)$wyprowadzić niejawne rozwiązanie dla$u$, określone równaniem
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
Teraz mamy do czynienia z określeniem$f$od stanu początkowego i ostatecznie rozwiązać$u$. Czy możesz to zabrać stąd?