Udowodnij to $|\sin 1| + |\sin 2| + |\sin 3| +\cdots+ |\sin 3n| > 8n/5$ [duplikować]

Question

Tak więc pytanie jest następujące:

Udowodnij to $\left|\sin 1\right| + \left|\sin 2\right| + \left|\sin 3\right| +\cdots+ \left|\sin 3n\right| > 8n/5.$

Wypróbowałem kilka podejść, w tym użycie rozszerzenia Taylora lub nierówności AM-GM, ale bezskutecznie. Byłoby bardzo pomocne, gdyby udało się udowodnić ten problem.

Edycja: kąty są w radianach, $n$ jest liczbą naturalną.

Answer 1

Lemat: funkcja

$$f(x)=|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+\sin(x+2)|>\frac{8}{5}$$

dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$.

Dowód: wystarczy wykazać, że powyższe równanie jest prawdziwe $x\in [0,2\pi]$. Funkcja jest różniczkowalna fragmentarycznie, z wyjątkiem

$$x\in \{0,\pi,\pi-1,2\pi-1,\pi-2,2\pi-2,2\pi\}$$

Następnie $f(x)$ można przepisać

$$f(x)=\begin{cases} f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 0\leq x\leq \pi-2 \\ f_2(x)=\sin(x)+\sin(x+1)-\sin(x+2) & \pi-2\leq x\leq \pi-1 \\ \vdots \\ f_6(x)=-\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 2\pi-1\leq x\leq 2\pi \end{cases}$$

Możemy wtedy wziąć każdy z tych przedziałów i udowodnić $f_i(x)>\frac{8}{5}$. Dla$i=1$, mamy

$$f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2)$$

$$=-\sin ^2(1) \sin (x)+\sin (x)+\cos ^2(1) \sin (x)+2 \sin (1) \cos (1) \cos (x)+\sin (1) \cos (x)+\cos (1) \sin (x)$$

Zwróć na to uwagę

$$f_1(0)=\sin (1)+2 \sin (1) \cos (1)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+2\left(1-\frac{1}{3!}\right)\left(1-\frac{1}{2!}\right)=\frac{5}{3}>\frac{8}{5}$$

$$f_1(\pi-2)=\sin (1)+\sin (2)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+\left(2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}\right)=\frac{1097}{630}>\frac{8}{5}$$

(użyliśmy rozszerzeń serii Taylora, aby uzyskać granice $\sin(1),\sin(2)$, i $\cos(1)$). Tak więc na punktach końcowych$[0,\pi-2]$ wiemy $f_1(x)>\frac{8}{5}$. Teraz, biorąc pochodną, ​​którą otrzymujemy

$$f_1^{'}(x)=\cos (x)+\cos (x+1)+\cos (x+2)=(1+2 \cos (1)) \cos (x+1)$$

Jest to łatwe do rozwiązania i widzimy, że jedyne zero w przedziale $[0,\pi-2]$ jest $x=\frac{\pi }{2}-1$. Ostatnim krokiem jest ponowne wykonanie pochodnej:

$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)$$

Od

$$\cos(1)>1-\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}>0$$

wiemy

$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)<0$$

dla $x\in [0,\pi-2]$. Łącząc to wszystko razem, mamy

$$f_1(0)>\frac{8}{5}$$

$$f_1(\pi-2)>\frac{8}{5}$$

$$f_1^{'}(x)\text{ has a single zero on the interval}$$

$$f_1^{''}(x)<0\text{ on the interval}$$

Te warunki to implikują $f_1(x)>\frac{8}{5}$ dla wszystkich $x\in[0,\pi-2]$. Pozostałe przypadki można udowodnić w podobny sposób, jak w przypadku$i=1$walizka. W ten sposób udowodniono lemat.

Twierdzenie: Suma skończona

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{8}{5}n$$

Dowód: przez lemat (z $x=3i-1$), wiemy, że każda część sumy jest większa niż $\frac{8}{5}$. Następnie

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\sum_{i=0}^{n-1}\frac{8}{5}=\frac{8}{5}n$$

i twierdzenie zostało udowodnione.

EDYCJA: dołączyłem to po wykonaniu kilku przykładów liczbowych. Wygląda na to że

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)=1.9098...$$

Z jednej strony, wygląda to trochę jak suma Riemanna (przynajmniej ułamek przed sumą skończoną). Po drugie, jeśli granica naprawdę istnieje, to przypuszczenie jest prawdziwe dla wszystkich z wyjątkiem skończonej liczby$n$ dla wszystkich $x<1.9098...$. To znaczy, jeśli$x<1.9098...$ wtedy dla wszystkich z wyjątkiem skończonej liczby $n$

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>xn$$

Tak się po prostu dzieje $\frac{8}{5}$nie jest ciasnym związkiem. W rzeczywistości ściślejsza więź, która powinna działać dla wszystkich$n$ jest $\frac{42}{25}$. To jest

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{42}{25}n$$

jest prawdziwe dla wszystkich $n$. Udowodnienie tego wymagałoby po prostu o wiele więcej terminów z rozszerzeń serii Taylor$\sin(1),\cos(1),$ i $\sin(2)$ (lub inne rozszerzenie).

EDYCJA 2: Ostatnia edycja, zdałem sobie sprawę, że tam limit (w EDYCIE 1) jest podobny do sumy Riemanna. konkretnie

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \bigg(|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+|\sin(x+2)|\bigg)dx=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}=1.90986...$$

do której zdawało się zbiegać granica. Wymagałoby to trochę finezji (prawdopodobnie musiałbyś skorzystać z faktu, że liczby naturalne są równo rozmieszczone modulo$2\pi$), ale jestem teraz przekonany, że powyższa granica naprawdę istnieje i jest równa $\frac{6}{\pi}$.