Utrzymywanie czynników fazy w Sqrt

Question

Próbuję wykreślić pewne funkcje holomorficzne, które zawierają pierwiastki kwadratowe i wyższe. W sensie analizy złożonej funkcja$f:z\mapsto z^\alpha$ dla niektórych $\alpha\in\mathbb C$ ma współczynnik fazowy $e^{2\pi i\alpha}$ w $z=0$, co oznacza, że ​​na małej okrągłej ścieżce dookoła $0$ funkcja $f$wychwytuje ten czynnik. Czy jest sposób na zaimplementowanie tego w Mathematica?

Na przykład,

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

daje w rezultacie 1, przy czym chciałbym, aby Mathematica zachowała fazę $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ a następnie oblicz $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$Za pomocą Sqrtlub$(\cdot)^{1/2}$nie wydaje się to możliwe, ponieważ wybierają główne pierwiastki kwadratowe. Wielkie dzięki za Twoją pomoc!

EDYCJA Oto przykład:

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

Oczywiście funkcje f1i f2nie są takie same, tak jak$\sqrt{x^2}=|x|$ nie jest równe $x$ na $\mathbb R\ni x$. W moim celu interesuje mnie raczej rozdzielczość pierwiastka kwadratowego, która prowadzi do gładkiej funkcji. Powyższe wykresy wyglądają następująco:

Na lewym rysunku widać punkty, w których funkcja przecina gałąź z pierwiastka kwadratowego. Zastanawiam się, czy można tego uniknąć, tak jak na prawym obrazku, bez możliwości ręcznego rozwiązywania pierwiastka kwadratowego. Na przykład, jeśli dodamy wyrażenie do$z^8$ który zawiera podobne fazy, chciałbym wyjąć wspólną fazę z pierwiastka kwadratowego, aby nie mieć wpływu na cięcie gałęzi.

Można też powiedzieć, że powyższą funkcję można zniekształcić $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ dla niektórych $\varepsilon>0$. Wtedy nie ma sposobu, aby wziąć pierwiastek kwadratowy jako rodzajowy$z$i nie można wykreślić deformacji właściwego obrazu. Niezależnie od tego jestem zainteresowany znalezieniem sposobu, aby to zrobić, aby właściwy obraz ulegał ciągłej deformacji.

Moim rzeczywistym zainteresowaniem są pierwiastki kwadratowe funkcji modularnych EllipticThetai DedekindEta, które przekształcają się pod wpływem pewnych ułamkowych przekształceń liniowych z fazami. Wtedy dobrze zdefiniowane są wyrażenia, takie jak$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ ponieważ oba szczyty przekształcają się w tych samych fazach.

Wszystkie powyższe kwestie wynikają z faktu, że Mathematica na każdym kroku wyraża liczby zespolone we współrzędnych kartezjańskich lub ignoruje wszystko modulo $2\pi$w postaci polarnej. Byłoby miło znaleźć sposób, aby uniemożliwić to Mathematica, bez konieczności ponownego definiowania każdej operacji. Wielkie dzięki!

Answer 1

To jest przykład ogólnego problemu analitycznego kontynuowania funkcji wielowartościowej wzdłuż ciągłej ścieżki.

W przypadku funkcji algebraicznej, takiej jak $w=\sqrt{z^8}$, możemy to zapisać jako $f(z,w)=w^2-z^8=0$ aw twoim przypadku, pozwalając $z(t)=1+it$, pisać: $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ Następnie rozwiązujemy (wielowartościowy) IVP: $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ gdzie DE i wartości początkowe $\{w_0\}$ dla $t_0=-5$ są skonfigurowane jako:

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

Teraz rozwiąż oba IVP i wykreśl wyniki:

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]