Wartości własne macierzy prawie diagonalnej [duplikat]

Question

Wiem, że wartość własna macierzy diagonalnej to po prostu wartości na przekątnej. Jeśli jednak mam macierz o następującej postaci:

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$Czy istnieje zamknięty sposób wyrażenia wartości własnych tej macierzy? Mogę wyznaczyć wartość własną mniejszych bloków wzdłuż przekątnej, ale jak to się ma do ogólnej macierzy?

Answer 1

Wartości własne macierzy diagonalnej bloku są wartościami własnymi każdego bloku. Odpowiednie wektory własne są wektorami własnymi każdego bloku wypełnionymi zerami. Na przykład:

Wartości własne macierzy $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ są $7$ i $1$, a odpowiednie wektory własne są odpowiednio $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

Wartości własne macierzy $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ są $2+\sqrt{2}$, $2$, i $2-\sqrt{2}$ a odpowiednie wektory własne są odpowiednio $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Wartości własne macierzy $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ są $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, i $2-\sqrt{2}$, a odpowiednie wektory własne są odpowiednio $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Jeśli masz macierz bloków $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ jego charakterystycznym wielomianem jest $p_A(x)p_B(x)$.