Własności funkcji wypukłej w zamkniętym przedziale jednostkowym $[0,1]$.

Question

Rozważ funkcję ciągłą i wypukłą $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. Zastanawiam się, czy

1. $F(x)$ jest stale różniczkowalna w $[0,1]$

2. $F(x)$ ma ograniczoną zmienność w $[0,1]$

3. $F(x)$ jest absolutnie ciągła w $[0,1]$.

Drugi jest poprawny, ze względu na ten post. Udowodnienie, że funkcja wypukła ma ograniczoną zmienność .

Jednak pozostałe dwa stały się dla mnie tajemnicze. Rozdział 6 Roydena odpowiada na nie, jeśli mamy przerwę.

Wniosek 17: Let $\varphi$ być wypukłą funkcją na $(a,b)$. Następnie$\varphi$ jest Lipschitzem, a więc absolutnie ciągłym w każdym zamkniętym, ograniczonym podprzedziale $[c,d]$ i $(a,b)$

Twierdzenie 18: Niech $\varphi$ być wypukłą funkcją na $(a,b)$. Następnie$\varphi$ jest różniczkowalna, z wyjątkiem policzalnej liczby punktów.

Zgodnie z Twierdzeniem 18, trudno w to uwierzyć $F(x)$ stanie się zróżnicowany w $[0,1]$. Ale nie mogę znaleźć kontrprzykładu. Oznacza to, że funkcja wypukła jest ciągła$[0,1]$ ale nie jest różniczkowalna.

Wniosek 17 daje całkiem niezły wynik, ale wydaje się, że nie dotyczy on przedziału zamkniętego. Czy można to powiedzieć, jeśli mamy$F(x)$ na $[0,1]$ jest wypukła, wtedy będzie wypukła $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? a następnie możemy skorzystać z Wniosku 17, aby wywnioskować, że jest on absolutnie ciągły$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.

Dziękuję Ci!

Answer 1

Biorąc pod uwagę liczby rzeczywiste $a<b$pokażmy, że funkcja ciągła i wypukła $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$jest absolutnie ciągła. Od$F$ to funkcja ciągła na kompaktowym zestawie $[a,b]$ w pewnym momencie osiąga swoje minimum $c\in [a,b]$. Wypukłość$F$ wynika z tego $F$ nie rośnie $[a,c]$ i nie malejąco na $[c,b]$. Wystarczy więc rozważyć przypadek, kiedy$F$ jest włączony monotonicznie $[a,b]$.

Pozwolić $\varepsilon>0$być dowolną liczbą. Ponieważ funkcja$F$ jest ciągła o godz $a$ i $b$, istnieje $0<\delta'<|b-a|$ takie, że jeśli $x,y\in [a,b]$ i $|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ następnie $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ i $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. Monotoniczność$F$ oznacza to dla każdej rodziny $(x_n,y_n)$ rozłącznych otwartych przedziałów zawartych w $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ mamy $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.

Zgodnie z wnioskiem 17, $F$ jest absolutnie ciągły $(a+\delta’, b-\delta’)$, więc istnieje liczba rzeczywista $\delta\le \delta’$ takie, że dla każdej skończonej rodziny $(x_n,y_n)$ rozłącznych otwartych przedziałów zawartych w $(a+\delta’, b-\delta’)$ co najwyżej całkowitej długości $\delta$ mamy $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.

Z powyższego łatwo wynika, że ​​każda ograniczona rodzina $(x_n,y_n)$ rozłącznych otwartych przedziałów zawartych w $[a, b]$ co najwyżej całkowitej długości $\delta$ mamy $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.