Wszystkie niezdegenerowane dwuliniowe formy symetryczne w złożonej przestrzeni wektorowej są izomorficzne
Wszystkie niezdegenerowane dwuliniowe formy symetryczne w złożonej przestrzeni wektorowej są izomorficzne. Czy to oznacza, że biorąc pod uwagę niezdegenerowaną bilinearną formę symetryczną w złożonej przestrzeni wektorowej, można wybrać taką podstawę dla przestrzeni wektorowej, że macierzowa reprezentacja postaci dwuliniowej jest macierzą tożsamości? Czy ktoś może mi pomóc wyjaśnić, dlaczego tak jest?
Myślę, że macierz z wpisami w $\mathbb{C}$będzie mieć charakterystyczne równanie, które dzieli się na czynniki liniowe (z wielokrotnościami), a więc będzie diagonalizowalne, ale nadal nie będzie w stanie złożyć tych elementów razem. Docenione statystyki!
Odpowiedzi
Odpowiedź brzmi tak.
Po pierwsze, dowód na to, że dwuliniowe formy są izomorficzne. Zauważ, że wystarczy udowodnić, że to trwa$\Bbb C^n$.
Po pierwsze, twierdzę, że każdą odwracalną, złożoną, symetryczną macierz można zapisać w postaci $A = M^TM$ dla jakiejś złożonej macierzy $M$. Można to zobaczyć na przykład jako konsekwencję faktoryzacji Takagi .
Teraz pozwól $Q$ oznaczają symetryczną dwuliniową formę nad $\Bbb C^n$, i pozwól $A$ oznaczają jego macierz w tym sensie $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Pozwolić$Q_0$ oznaczają kanoniczną dwuliniową formę zdefiniowaną przez $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Piszemy$A = M^TM$ dla jakiejś odwracalnej złożonej macierzy $M$.
Definiować $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ przez $\phi(x) = Mx$. Łatwo to zweryfikować$\phi$ jest izomormfizmem dwuliniowych przestrzeni iloczynowych, tak więc te dwie przestrzenie są rzeczywiście izomorficzne.
Po ustaleniu wszystkiego: widzimy, że zmiana podstawy $y = Mx$ jest taki, że $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.