Wyjątkowość pól skończonych z $p^n$elementy. [duplikować]

Question

Powszechnie wiadomo, że istnieje tylko jedno pole skończone z $p^n$ pierwiastki, aż do izomorfizmu, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą i $n \geq 1$.

Pozwolić $n = m t$, gdzie $m, t > 1$.

Następnie $F = Z_p[X]/(f(X))$ to pole z $p^n$ dostarczonych elementów $f$ jest jakimś nieredukowalnym wielomianem stopnia $n$ w $Z_p$.

A tym samym, $G = Z_p[X]/(g(X))$ to pole z $m$ elementy ($g$ nieredukowalny stopień $m$). Następnie$G$ ma $p^m$ elementy.

Wreszcie pozwól: $H = G[X]/(h(X))$ gdzie $h$ jest nieredukowalnym wielomianem stopnia $t$ ze współczynnikami w $G$.

Teraz, w moim rozumieniu $F$ i $H$ mieć obydwa $p^n$elementy. Więc moje pytanie brzmi:

Są $F$ i $H$ izomorficzny?

Answer 1

Opiera się to na ogólnym fakcie dotyczącym dzielenia pól.

Pozwolić $F$ być polem i $f(X)\in F[X]$być wielomianem monicznym. Pole rozszerzenia$K$ z $F$jest polem podziału dla$f$ Jeśli

1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ w $K[X]$ (korzenie nie muszą być różne);
2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Twierdzenie. Jeśli$K_1$ i $K_2$ dzielą się pola $f(X)\in F[X]$, to istnieje izomorfizm pola $\varphi\colon K_1\to K_2$ odejście $F$ punktowo ustalony.

Dowód jest obszerny i można go znaleźć w dowolnej książce poświęconej teorii Galois, ponieważ jest jej podstawowym narzędziem.

Rozważmy teraz wielomian $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, gdzie $\mathbb{F}_p$ jest $p$-pole pierwiastkowe (które jest unikalne aż do unikalnego izomorfizmu).

Pozwolić $K$ być polem rozdzielającym $f(X)$. Następnie$f(X)$ ma $p^n$ wyraźne korzenie w $K$ (ponieważ pochodna wielomianu to $-1$). Z drugiej strony zestaw korzeni$f(X)$ jest podpolem $K$: rzeczywiście, jeśli $a,b$ są więc korzeniami $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ więc $a+b$ jest źródłem $f$. Analogicznie$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$i łatwo jest sprawdzić wzajemność. Ponieważ też$0$ i $1$ to korzenie, skończyliśmy.

A zatem $K$ jest zbiorem wszystkich korzeni$f$ i dlatego $|K|=p^n$.

I odwrotnie, jeśli $K$ to pole z $p^n$ elementy, pokazuje to ten sam argument, co poprzednio $X^{p^n}-X$ ma $p^n$ wyraźne korzenie w $K$, więc $K$ jest polem podziału dla $f(X)$.

Wyjątkowość aż do izomorfizmu wynika teraz z powyższego twierdzenia.