Wymiarowa regularyzacja własnej energii elektronów z książki Rydera

Aug 15 2020

Studiuję energię własną elektronów, używając podręcznika Rydera, na stronie 334 widzimy

Definiowanie $k'=k-pz$ i unikając terminu linear in $k'$(ponieważ całkuje do zera) daje \ begin {equation} \ Sigma (p) = - tj. ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - {\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {equation} [...] Tę całkę oblicza się za pomocą równania (9A.5), dając \ begin {equation} \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}. \ end {equation}

Równanie 9A.5 to \ begin {equation} \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ Tag {9A.5} \ end {equation} Nie rozumiem, jak zastosował tę całkę (9A.5), aby otrzymać wynik \ begin {równanie} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {equation} proszę, pomóż mi mieć pomysł.

Odpowiedzi

2 DavideMorgante Aug 15 2020 at 17:01

To tylko kwestia zastosowania wyniku (9A.5) do całki w $d^d k^\prime$. W rzeczywistości zadzwoń$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ i umieścić $q=0$ w całce (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

gdzie właśnie zmieniliśmy zmienną całkującą $k^\prime$ do $p$aby wynik był wyraźniejszy 9A.5. Korzystając z tego$\Gamma(2) = 1$, używając powyższej definicji $M^2$ i trochę upraszczając $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ gdzie wykorzystaliśmy fakt, że $2^d = 4^{d/2}$

1 my2cts Aug 15 2020 at 18:28

Porównaj drugą całkę w pierwszym równaniu z ty he w tablicy 9A5. Widzisz to$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$przekształci jedną integrandę w drugą. Wykonanie tych samych podstawień w prawych 9A5 powinno dać pożądany rezultat.