Wymuszanie produktowe układów symetrycznych
Mając rodzinę forsujących pojęć $(P_i)_{i\in I}$ możemy wziąć produkt $P:=\prod_{i\in I}P_i$ jako wymuszające pojęcie do stworzenia ogólnego filtru formularza $G=(G_i)_{i\in I}$ takie, że dla każdego $i\in I$ projekcja $G_i$ odpowiada ogólnemu filtrowi utworzonemu podczas wymuszania za pomocą $P_i$. Nazywa się to wymuszaniem produktu i pozwala nam przylegać jednocześnie do kilku różnych typów obiektów ogólnych. (Bardziej szczegółowe omówienie tematu, patrz Wymuszanie produktów i obiekty ogólne )
Teraz moje pytanie brzmi, czy i jak można połączyć wymuszanie produktu z wymuszeniem symetrycznym. Załóżmy, że mamy rodzinę pojęć wymuszających jak powyżej i rodzinę grup$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ jak również $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ takie że $\mathcal{G}_i$ jest podgrupą $Aut(P_i)$ i $\mathcal{F}_i$ jest normalnym włączonym filtrem $\mathcal{G}_i$ dla wszystkich $i\in I$. Czy możemy po prostu zdefiniować$P$ jak wyżej z $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ działając dalej $P$ komponentowo i $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ jako normalny filtr włączony $\mathcal{G}$ ?
Weźmy na przykład oryginalny symetryczny model Cohena $ZF+\neg AC$ gdzie styka się z policzalnie wieloma rodzajami liczb rzeczywistych, a następnie przystępuje do tworzenia nieskończonego podzbioru $A\subset \mathbb{R}$bez żadnych policzalnie nieskończonych podzbiorów. Wtedy opisana powyżej konstrukcja powinna pozwolić nam na połączenie$I$ wiele takich zestawów $(A_i)_{i\in I}$ od razu.
Czy są jakieś komplikacje, jakie można napotkać przy tego typu konstrukcji (np. Symetryczne wymuszanie produktu)? Czy jest jakaś literatura na ten temat?
Odpowiedzi
Tak, w literaturze jest tego dużo. Chociaż bardzo mało w zakresie „abstrakcyjnych ram”. To jest coś, co robiono zasadniczo od samego początku forsowania, a dowody na to można znaleźć we wczesnych artykułach.
W moich pracach
Karagila, Asaf , Iterating symmetric extensions , J. Symb. Log. 84, nr 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , The Morris model , Proc. Natl. Jestem. Math. Soc. 148, nr 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Możesz znaleźć bardziej ogólne leczenie. Produkty są szczególnym przypadkiem iteracji, a pierwsza praca dotyczy przypadku, w którym wsparcie jest skończone. W przypadku produktu możemy jednak zrezygnować z niektórych trudności w uogólnianiu iteracji na dowolne podpory, a część pracy jest wykonywana w drugim artykule.
Poza tym w wielu miejscach można zobaczyć produkty definiowane „ręcznie”, łatwo zauważyć, że definicje obowiązują dla wszelkiego rodzaju systemów symetrycznych (ale produkty te są zwykle używane z wymuszeniami w stylu Cohena). Oto kilka ostatnich przykładów, głównie z mojej pracy, która dość często poruszała ten temat, oraz starsze przykłady.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spectra of uniformity. , Commentat. Math. Univ. Kolęda. 60, nr 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Osadzanie rozkazów w kardynałów za pomocą (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Math. 226, nr 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , lemat Fodora może zawieść wszędzie , Acta Math. Zawieszony. 154, nr 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , wyniki Independence dotyczące zbiorów Dedekind-skończonych , J. Aust. Math. Soc., Ser. A 19,35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Właściwa klasa nieporównywalnych parami kardynałów , Colloq. Math. 58, nr 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Pomiędzy tymi wszystkimi zobaczysz skończone podpory, policzalne (lub $\kappa$-) wspiera, Easton wspiera, a zobaczysz, że przeskakiwanie w kierunku czegokolwiek innego (które jest teraz tylko innym rodzajem mieszanego wsparcia, jest naprawdę takie samo).
W rzeczywistości mamy teraz nawet więcej mocy, ponieważ możemy mówić o zmianie wsparcia w produkcie filtrów i grup. Można by pomyśleć, że oznacza to, że możemy powiedzieć o wiele więcej, ale w rzeczywistości zwykle nie ma to znaczenia.
W swoim artykule o iteracjach opisałem pojęcie zwane „wytrwałością”. Pod koniec mojego doktoratu podczas jednej z wielu dyskusji, które odbyłem z Yair Hayut, postanowiliśmy spróbować dowiedzieć się, co tak naprawdę kryje się pod tą koncepcją. Okazało się, że każdy system symetryczny jest równoważny z wytrwałym. A to oznacza, że granie z różnymi podporami (tj. Skończone wsparcie na filtrach podczas używania Eastona na forsowaniu) jest zwykle równoważne z najmniejszym wsparciem, którego używasz. Niekoniecznie zawsze, ale zwykle.
Jeśli chodzi o model Cohena, to trochę trudne. Każdy rodzaj jest prawdziwy i nie tylko o niego dbamy, ale także o zestaw wszystkich generyków. Tak więc w rzeczywistości nie jest to produkt, ale raczej iteracja dodawania każdego rzeczywistego, naruszającego wybór przez nie dodawanie zestawu wszystkich liczb rzeczywistych, a następnie wymuszanie dodania zestawu typów generycznych bez jego prawidłowego uporządkowania. Wszystko to sprawia, że myślenie o tym jako o jednym rozszerzeniu jest o wiele prostsze.