Wypowiedzi dotyczące pracy Thurstona na powierzchni

Question

Jeśli mamy proste zamknięte krzywe $\alpha$ i $\beta$ na powierzchni $\Sigma_g$, numer skrzyżowania $i(\alpha ,\beta)$ jest zdefiniowana jako minimalna liczność $\alpha_1\cap\beta_1$ tak jak $\alpha_1$ i $\beta_1$ zakres wszystkich prostych zamkniętych krzywych izotopowych do $\alpha$ i $\beta$odpowiednio. Mówimy$\alpha$ i $\beta$ przecinają się minimalnie, jeśli $i(\alpha ,\beta) = |\alpha\cap\beta|\,$.

Jak to zobaczyć $\alpha$ i $\beta$ przecinają się minimalnie, jeśli nie ma par $p,q\in\alpha\cap\beta$ takie, że łuk się łączy $p$ do $q$ wzdłuż $\alpha$ po którym następuje łuk z $q$ wrócić do $p$ wzdłuż $\beta$ ogranicza dysk w $\Sigma_g$?
Może szkic idei dowodu?

Myślę, że prawdą jest również odwrotność: „to $\alpha$ i $\beta$ przecinają się minimalnie tylko wtedy, gdy nie ma par $p,q\in\alpha\cap\beta$ takie, że łuk się łączy $p$ do $q$ wzdłuż $\alpha$ po którym następuje łuk z $q$ wrócić do $p$ wzdłuż $\beta$ ogranicza dysk w $\Sigma_g$”.

Answer 1

Nazywa się to „kryterium bigona”. Omówienie znajduje się w Sekcji 1.2.4 (aw szczególności w Propozycji 1.7) „Podstawy mapowania grup klas” autorstwa Farb i Margalit.

Wyszukiwarka Google „kryterium bigonu” znajduje również różne odniesienia i notatki z wykładów. Na przykład oto najpopularniejszy hit:

https://math.stackexchange.com/questions/1646340/proof-of-the-bigon-criterion