Wyrażenie analityczne dla potencjału sieci atomowej „muffin-puszka” do celów ilustracji i prostych obliczeń rozproszenia

Dec 03 2020

Przed podjęciem głębokiego nurkowania (patrz powiązane pytania poniżej) w celu obliczenia dyfrakcji elektronów od 20 do 200 eV na powierzchniach kryształów, chciałbym wygenerować prosty „potencjał muffinowo-cyny” (patrz poniżej) z prostego przybliżenia analitycznego, które z grubsza odpowiada temu, co można by obliczyć jako potencjał elektrostatyczny, który padający elektron czułby przechodząc przez atom średniej wielkości (wodór << atom << uran) umieszczony w krysztale.

Dzięki temu mogę zacząć się uczyć, jak obliczać przesunięcia fazowe i rozkłady kątowe.

Przybliżenie Muffin-tin w Wikipedii mówi o tym, ale nie oferuje żadnych równań z ręki.

Przybliżenie rzędu zerowego oznaczałoby jądrowy dodatni ładunek punktowy i jednorodną kulę o ładunku ujemnym i na pewno mogę od tego zacząć; z niejasnym argumentem dotyczącym jednolitości opartym na zasadzie wykluczenia. W tym kontekście często zakłada się płaski „wewnętrzny potencjał” od 5 do 15 eV między atomami. Na małych odległościach musiałby być spłaszczony, ponieważ blisko jądra idzie w nieskończoność.

Pytanie: Ale czy istnieje nieco lepsze przybliżenie niż to dostępne?

Przekrój poprzeczny przez „jednomufinkową puszkę” wykonaną z munduru $r = 1$sfera elektronu i jądro punktowe, arbitralnie spłaszczone na dole. Zostałyby one rozmieszczone w przestrzeni w miejscu każdego atomu, a stały potencjał wypełniłby przestrzeń między nimi.

Cel długoterminowy tylko dla tła:

Omówienie sposobu przeprowadzania samozgodnych dynamicznych symulacji dyfrakcji elektronów o niskiej energii
Czy metody w dziedzinie czasu z różnicami skończonymi wdarły się do dynamicznej symulacji rozpraszania elektronów i / lub promieniowania rentgenowskiego przez kryształy?
Symulowane wzory dyfrakcji elektronów o niskiej energii (LEED)

Odpowiedzi

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

Metoda Augmented Plane Wave (APW), a co za tym idzie, metoda Linearly-Augmented Plane Wave to uogólnienia metody Muffin Tin Approximation.

W obu metodach APW i LAPW potencjał $V(r)$ definiuje się jako funkcję odcinkową [1] z jednym parametrem: promieniem muffin-tin $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

Wartości potencjału $V(r)$, funkcja falowa $\phi(r)$i gęstości elektronicznej $\rho(r)$ są dopasowane w $r = r_\mathrm{MT}$ aby upewnić się, że dla każdego z nich istnieje instrument pochodny.

Poniższa ilustracja pochodzi z Singh & Nordstrom (2006) [2],

O rozwiązaniu nierelatywistycznego równania Schrödingera, ta sama książka w rozdz. 5, s. 63.

Te równania różniczkowe [radialne równanie Schrödingera] można rozwiązać na siatce radialnej przy użyciu standardowych, np. Metod predykcyjno-korektorskich.

Po dopasowaniu obu części (rozdz. 4, str. 44):

Zauważając to z równania Schrödingera, $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ gdzie $u_1 (r)$ i $u_2 (r)$ są rozwiązaniami radialnymi przy różnych energiach $E_1$ i $E_2$. Nakładanie się jest konstruowane przy użyciu tej relacji i całkowania przez części; określenia powierzchni znikają, jeśli którekolwiek z nich$u_1 (r)$ lub $u_2 (r)$ znikają na granicy sfery, podczas gdy inne terminy znikają.

W każdym razie osobiście nie uważam, aby rozwiązanie radialnego równania Schrödingera było zbyt kosztowne obliczeniowo, biorąc pod uwagę obecny stan komputerów. Ale jeśli chcesz tego uniknąć za wszelką cenę, istnieje model Kroniga-Penneya , który jest znacznie prostszy kosztem dokładności.