Zamówienie - statystyki [duplikat]

Dec 10 2020

Zmienne losowe $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ są iid $\mathcal{U}(0, a)$. Określ dystrybucję$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Czy powinienem znaleźć wspólną dystrybucję $\max$ i $\min$ a następnie znajdź dystrybucję $Z_n$ponieważ mamy dwie różne zmienne losowe, nie wiem, jak to zrobić!

Odpowiedzi

MatthewPilling Dec 10 2020 at 07:04

Najpierw zauważ, że losowy wektor $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ jest obsługiwany na $(0,a)^2$. Przypuszczać$f$to gęstość spoiny. Od$X_{(n)}$ i $Y_{(n)}$ są niezależni, mamy $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ dla każdego $(x,y)\in (0,a)^2$. Obserwuj też, jak$Z_n$ jest obsługiwany na $[0,\infty)$, co oznacza dla każdego $z\geq 0$ mamy $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Mamy trochę algebry $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Prawdopodobieństwo to można zapisać jako całkę podwójną $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ który pokazuje $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.