Znajdź kąt między dwiema stycznymi narysowanymi z punktu $(0, -2)$ do krzywej $y=x^2$

Question

Znajdź kąt między dwiema stycznymi narysowanymi z punktu $(0, -2)$ do krzywej $y=x^2$.

Oto moja próba:
niech$P(\alpha, \beta)$ być punktem na krzywej. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Równanie stycznej w punkcie P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ powinien spełnić to równanie. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Teraz wstaw te wartości, aby znaleźć nachylenie$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Wiemy to od $\theta$= kąt między liniami i $m_1\quad\&\quad m_2$ być nachyleniem linii: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

Moja odpowiedź nie pasuje do książki. Książka jest bardzo ceniona, więc nie może się mylić. Nie mogę znaleźć błędu w moim rozwiązaniu. Książka podaje odpowiedź jako$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Edycja: książka faktycznie podaje odpowiedź jako$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Byłem niewidomy, który nie mógł zobaczyć 2 .

Answer 1

Myślę, że w twojej książce są dwa błędy.

Po pierwsze, $\theta$ powinien być kątem ostrym, ponieważ mówimy o kącie między stycznymi, a nie o odcinkach stycznych, ale $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Twoja odpowiedź $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ jest prawdziwe i równe $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Po naprawieniu musimy to udowodnić $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ co jest prawdą, ponieważ $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

Answer 2

Jak już wyprowadziłeś, plik $x$-wartości dwóch punktów na krzywej są $-\sqrt2$ i $\sqrt2$ (z odpowiednim $y$-wartość $2$).

Przyjrzyjmy się „prawej stycznej” $\big($w $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Ponieważ nachylenie stycznej wynosi 2 $ \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , kąt między $ x $ -axis a tą styczną wynosi $ \ arctan \ sqrt8 $ . Dlatego kąt między tą styczną a osią $ y $ wynosi $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Wreszcie podwójna wartość tego kąta to kąt między dwoma stycznymi, który w rzeczywistości wynosi $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .