Znajdź najlepszą stałą w tym złożonym problemie analizy

Question

Natknąłem się na problem, który sprawia mi kłopoty i jest dość interesujący, ale nie mogę tego zrobić. Oto jest.

Pozwolić $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} dla $\forall n \in \mathbb{N}$ i $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Wyraźnie$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

Dla $n=2$, udowodnij, że istnieje $J$, takie że $S_J\geq aS$ i $a\in \mathbb{R}$. Udowodnij to$a=\frac{1}{2}$jest najlepszą stałą.
Dla$n=3$, udowodnij, że istnieje $J$, takie że $S_J\geq bS$ i $b\in \mathbb{R}$. Udowodnij to$b=\frac{1}{3}$jest najlepszą stałą.
Jaka jest najlepsza stała, jeśli$n\geq 4$ ?

Answer 1

Chcesz pisać $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ tak jak $S_J$, nie $S_j$: $j$ to po prostu „fikcyjny indeks”.

Dla $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ więc $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Podobnie dla$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, i na ogół $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Żeby to zobaczyć $a = 1/2$ jest najlepszą stałą dla $n=2$, możesz wziąć $z_1 = 1$ i $z_2 = -1$. Żeby to zobaczyć$a=1/3$ jest najlepszy dla $n=3$, możesz wziąć $z_1, z_2, z_3$ trzy korzenie sześcianu $1$.

Nie znam najlepszych stałych, kiedy $n > 3$.

EDYCJA: zobacz to