2 pytania dotyczące pierścionka $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Nie jestem w stanie rozwiązać tego konkretnego pytania w teorii pierścienia. Zadano to na egzaminie magisterskim, do którego się przygotowuję.
Pozwolić $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .
(a) Udowodnij to $A$ jest bezpośrednim iloczynem dwóch integralnych domen.
(b) Czy pierścień $A$ izomorficzny do $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
Mogę wiedzieć przez $X^{3}-1$ że teraz będą elementy $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ należeć do $\mathbb{Q}$. Ale nie mam pojęcia o bezpośrednich iloczynach, które domeny integralne utworzą ten pierścień.
Również dla drugiego mam problemy ze zdefiniowaniem mapy jako $X^3$będzie działać jako -1 w drugim pierścieniu. Nie wydaje mi się, żeby mapa była$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ działałaby tak, jak ta mapa nie jest $1-1$.
Czy ktoś może więc powiedzieć, jak mam podejść do obu tych problemów.
Odpowiedzi
WSKAZÓWKA :
(a) Użyj chińskiego twierdzenia o resztach , które mówi, że dla pierścienia$A$ i ideały $\mathfrak a,\mathfrak b$ z $A$ takie że $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Ponadto pierścień ilorazowy$\mathbb Q[X]/(f(X))$ jest integralną domeną iff $(f(X))$ jest pierwszym ideałem iff $f(X)$ jest nieredukowalny (ponieważ $\mathbb Q[X]$ jest PID).
(b) twierdzę $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$jest izomorfizmem. Sprawdź wszystkie aksjomaty.
(a) Jak stwierdziła Kenta S, od $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ i $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, mamy $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ a więc $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$przez chińskie twierdzenie o resztach. Wyraźnie,$x^2-x+1$ i $x-1$są nieredukowalne. W związku z tym,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ i $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ to domeny.
(b) Oczywiście, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Również,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ przez $x\to -x$. W związku z tym,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.