arytmetyczna sekwencja progresji, $\gcd(a,b)=1$

Question

Mam to pytanie dotyczące postępów arytmetycznych.

dla liczby naturalnej $k>1$, sekwencja : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

jego długość wynosi $K$

Muszę wybrać $L$ > 0 Liczba naturalna, dzięki której każda liczba w sekwencji jest względnie pierwsza.

i $a[i]-a[i-1]=d$ statyczny

(brak wspólnego dzielnika z żadną inną liczbą w sekwencji $\gcd(a,b)=1$)

Answer 1

Pozwolić $a_i = iL + 1$ dla $i = 1,\ldots K$.

Dla każdego $i \ne j$, pozwolić $d = \gcd(a_i,a_j)$.

Od $d$ dzieli oba $a_i$ i $a_j$, $d$ dzieli $ia_j - ja_i = i-j$.

Od $1 \le i,j \le K$, mamy $1 \le |i-j| \le K-1$. To sugeruje $$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

Jeśli wybierzemy $L$ być dowolną wielokrotnością $(K-1)!$, następnie $d|L$. W rezultacie,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

Od $i, j$ są arbitralne, to znaczy zawsze $L$ jest wielokrotnością $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, wszystko $a_i, a_j$ są parami względne pierwsze w stosunku do siebie.

Uwaga

• $\color{blue}{[1]}$ - Jeśli chcesz mniejszy $L$, możesz wymienić $(K-1)!$ przez ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ i to też działa.