Co mają wspólnego stożki z kwadratami? Dlaczego 2 jest wyjątkowe?
Zawsze dokuczały mi dwie skrajnie nieoczywiste ze sobą powiązane definicje przekrojów stożkowych (tj. Wydaje się tak tajemniczy / magiczny, że w jakiś sposób wycinki stożka są powiązane z równaniami stopnia 2 w 2 zmiennych). Niedawno trafiłem na następujące strony / filmy:
- Ten film 3B1B o elipsach , który ponownie rozpalił moje pragnienie zrozumienia stożków
- Dlaczego równania kwadratowe są takie same jak prawe okrągłe przekroje stożkowe? , który oferuje bardzo obliczeniowe podejście do próby rozwiązania tego problemu
- Kolejny film 3B1B na temat wizualizacji trójek pitagorejskich (czyli znajdowania racjonalnych punktów koła)
- oraz wykład Manjula Bhargavy na temat hipotezy Bircha-Swinnertona-Dyera , w którym minuty ~ 10-15 omawiają pełne rozwiązanie problemów punktów wymiernych na stożkach.
Chociaż wideo 3B1B ma wiele sensu i jest bardzo piękne z geometrycznego punktu widzenia, nie mówi o żadnym z innych stożków ani nie omawia związku z „stopniem 2”. Co więcej, drugi film 3B1B, który połączyłem, a następnie wykład Bhargavy podkreśla „stopień 2” jako coś, co dobrze rozumiemy w porównaniu z wyższymi stopniami (przypomina mi trochę ostatnie twierdzenie Fermata i brak rozwiązań dla$n>2$).
Więc przypuszczam, że moje pytania są następujące:
- Dlaczego, z intuicyjnego punktu widzenia, powinniśmy oczekiwać, że stożki będą głęboko powiązane z zerami równań algebraicznych stopnia 2?
i bardziej ogólnie:
- Czy jest jakiś głęboki powód, dla którego „2” jest tak wyjątkowe? Często słyszałem żart, że „matematyka polega na przekształcaniu zagmatwanych rzeczy w algebrę liniową”, ponieważ algebra liniowa jest „jedynym przedmiotem, który matematycy całkowicie rozumieją”; ale wydaje się, że rozumiemy również wiele fajnych rzeczy na temat kwadratów - mamy wspomnianą wcześniej relację ze stożkami, pełne zrozumienie punktów wymiernych i twierdzenie Pitagorasa (oh! i właśnie pomyślałem o wzajemności kwadratowej).
Warto również zauważyć, że wiele równań w fizyce jest powiązanych z 2 (drugą pochodną), chociaż może to być rozciągnięcie. Doceniam wszelkie pomysły, które udostępniasz!
Odpowiedzi
Sam stożek jest kwadratem! Tylko w trzech zmiennych zamiast dwóch. Dokładniej, powierzchnie stożkowe to „zdegenerowane hiperboloidy ”, takie jak
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
Przyjmowanie przekrojów stożkowych odpowiada przecięciu stożka z płaszczyzną $ax + by + cz = d$, co sprowadza się do zastąpienia jednej z trzech zmiennych kombinacją liniową dwóch pozostałych plus stałą, co daje wynik kwadratowy dwóch zmiennych. Najłatwiej zobaczyć, jeśli$z$ jest zastępowany przez stałą $r$ wtedy otrzymujemy okrąg $x^2 + y^2 = r^2$ (w ten sposób możesz wymyślić powyższe równanie; stożek to kształt, którego przekrój w $z = \pm r$ to okrąg o promieniu $r$). Podobnie, jeśli$x$ lub $y$ jest zastąpiona stałą, otrzymujemy hiperbolę.
Nie wiem, czy mam do zaprezentowania pełny obraz tego, dlaczego kwadraty są o wiele łatwiejsze do zrozumienia niż sześcienne i tak dalej. Może najprościej powiedzieć, że formy kwadratowe są ściśle związane z macierzami kwadratowymi (symetrycznymi)$M$, ponieważ można je zapisać $q(x) = x^T M x$. Mamy wiele narzędzi do zrozumienia macierzy kwadratowych, z których wszystkie można następnie wykorzystać do zrozumienia form kwadratowych, np . Twierdzenia spektralnego . Odpowiednimi obiektami dla form sześciennych jest stopień$3$ tensor, który jest trudniejszy do analizy.
Może całkiem głupi sposób, żeby to powiedzieć $2$ jest wyjątkowa, ponieważ jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, która nie jest równa $1$. Zatem kwadraty to najprostsze rzeczy, które nie są liniowe i tak dalej.
Co to jest stożek?
Jest to bryła, tak że każdy przekrój prostopadły do jego osi środkowej jest okręgiem, a promienie tego przekroju krążą proporcjonalnie do odległości od wierzchołka stożka.
I to wszystko. powierzchnia stożka to punkty$(x,y,z)$ gdzie $z = h= $ wysokość przekroju $= r = $promień przekroju. I$(x,y)$ są punktami okręgu z promieniem $r = h = z$.
Jak równanie koła $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ lub $x^2 + y^2 = r^2$ równanie stożka to $x^2 + y^2 = z^2$.
Każda sekcja stożkowa jest materią przecinającą stożek z płaszczyzną. Płaszczyzna jest ograniczeniem trzech zmiennych, które mają być powiązane przez utwierdzenie$ax +by + cz= k$ i jest to kwestia wyrażenia dowolnej trzeciej zmiennej jako liniowej kombinacji dwóch pozostałych.
Zatem przekrój płaszczyzny i stożka będzie pochodną równania 2-stopniowego $x^2 = y^2 = z^2$gdzie jedna ze zmiennych będzie liniową kombinacją dwóch pozostałych. Innymi słowy, równanie drugiego stopnia z dwiema zmiennymi.
I to wszystko.
Oczywiście prawdziwe pytanie brzmi: dlaczego jest to równanie koła $x^2 + y^2 =r^2$? i dlaczego jest to tak ważna reprezentacja równania drugiego stopnia?
A to całkowicie z powodu twierdzenia Pitagorasa. Jeśli weźmiemy jakiś punkt$(x,y)$ na płaszczyźnie i rozważ trzy punkty $(x,y), (x,0)$ i $(0,0)$dotyczą trzech wierzchołków trójkąta prostokątnego. Nogi tego trójkąta mają długość$x$ i $y$ i dlatego według twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna będzie miała długość $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ i to jest odległość $(x,y)$ do $(0,0)$.
Teraz okrąg jest zbiorem punktów, z których jest odległość $(x,y)$ do $(0,0)$ jest wartością stałą $r = h$. I tak to będzie wszystko$(x,y)$ gdzie $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.
I to wszystko. Dlatego: odległości odnoszą się do trójkątów prostokątnych, trójkąty proste do równań II stopnia, okręgi do odległości, stożki do okręgów i wszystkie z równań II stopnia.
Otóż to.
Bezpośrednim powodem jest to, że stożki są oparte na okręgach , a okręgi z kolei są podane przez równanie kwadratowe
$$x^2 + y^2 = r^2$$
. Otóż, z powodu tego, że okręgi mają to równanie, to znaczy dlatego, że są one powiązane z funkcją odległości euklidesowej, będącą zbiorem wszystkich punktów znajdujących się w stałej odległości od danego środka, tutaj tradycyjnie przyjmowanego za początek. W szczególności,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
O ile miara euklidesowa ma taką formę, powiedziałbym, że sprowadza się ona do następującego. Aby uzyskać więcej informacji na ten temat, warto rozważyć nieco bardziej ogólną formę metryk
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
zwany $p$-metry, które w efekcie wynikają z pytania „no cóż, co się stanie, jeśli potęga nie będzie wynosić 2?”, a więc są w sam raz do odpowiedzi na to pytanie.
I okazuje się, że $d_2$ma bardzo szczególną właściwość. Jest to jedyny, dla którego możesz wziąć obiekt geometryczny, zadeklarować punkt na nim jako oś, a następnie wziąć dowolny inny punkt na tym obiekcie i oznaczyć go, zmierzyć odległość od obrotu do punktu etykiety, a teraz przekształcić ten obiekt w ten sposób środek pozostaje nieruchomy, podczas gdy punkt etykiety jest skierowany w inną stronę w tej samej odległości, a mimo to ogólny rozmiar i kształt całego obiektu pozostaje niezmieniony. Innymi słowy, coś takiego jak „obrót” ma sens geometryczny jako ruch sztywny.
Więc jaki jest ostateczny powód, dla którego stożki są kwadratowe? Ponieważ w przestrzeni euklidesowej możesz obracać rzeczy w dowolny sposób, bez zmiany ich rozmiaru i kształtu.
Istnieje artykuł Davida Mumforda, który może być trudny do odczytania w zależności od poziomu przygotowania.
Istotą tego artykułu jest stwierdzenie, że dowolny układ równań wielomianowych można zastąpić (dodając więcej zmiennych i równań) układem równań kwadratowych i liniowych.
Prawdopodobnie można to uogólnić dalej, aby pokazać, że jeśli układ wielomianowy ma parametry, to można zapewnić, że te parametry pojawiają się tylko w równaniach liniowych.
Wspomniałeś o bardzo szczególnym wczesnym przypadku tego.
Powodem, dla którego cyfra „2” jest szczególna dla fizyki, jest drugie prawo Newtona, które odnosi siłę do przyspieszenia (nie prędkość) i jest to druga pochodna. Cóż, istnieje również rola „2” w prawach odwrotnych kwadratów.
Powodem, dla którego liczba „2” jest wyjątkowa w geometrii, ponieważ w kilku zmiennych są formy kwadratowe, jest to, że formy kwadratowe w kilku zmiennych mają kilka fajnych właściwości.
- Każda forma kwadratowa może być przekątna, aby usunąć wszystkie wyrażenia krzyżowe, więc możesz skupić się na przypadku ukośnych form kwadratowych $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (Ściśle mówiąc, nie dotyczy to form kwadratowych nad polami charakterystycznymi$2$, ale z charakterystyki nie wynika geometryczna intuicja $2$.) W przeciwieństwie do tego, formy sześcienne mogą nie dać się przekroczyć, nawet ponad $\mathbf C$. Na przykład forma sześcienna$y^2z - x^3 + xz^2$ (którego zero ustawione w postaci odhomogenizowanej jest dane równaniem $y^2 = x^3 - x$) nie może być przekątna $\mathbf C$: zobacz moje komentarze tutaj
Każda niesosobowa forma kwadratowa posiada dużą grupę automorfizmów dzięki konstrukcji odbić. Nazywa się to grupą ortogonalną formy kwadratowej. W przeciwieństwie do tego „grupa ortogonalna” jednorodnego wielomianu wyższego stopnia$f(\mathbf x)$ (czyli grupa przekształceń liniowych $A$ zachowanie wielomianu: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) jest często skończona, np. jedyne izometrie $x_1^n + \cdots + x_n^n$ dla $n \geq 3$ są permutacjami współrzędnych i mnożeniem współrzędnych przez $n$korzenie jedności.
Podstawą geometrii jest pojęcie ortogonalności, które ma być symetryczną relacją dwuliniową: $v \perp w$ wtedy i tylko wtedy gdy $w \perp v$, i jeśli $v \perp w$ i $v \perp w'$ następnie $v \perp (ax + a'w')$ dla wszystkich skalarów $a$ i $a'$. Sugeruje to spojrzenie na formy dwuliniowe$B(v,w)$ na przestrzeni wektorowej i pytając, kiedy relacja $B(v,w) = 0$ (abstrakcyjna wersja „$v \perp w$”) jest symetryczny. Okazuje się, że dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy $B$jest symetryczny lub naprzemienny. Pierwszy przypadek jest poza charakterystyką$2$ściśle związane z badaniem formy kwadratowej $Q(v) = B(v,v)$.
Indeks numer 2 jest szczególny w związku ze sposobem definiowania kątów z odległości.
Istnieje wiele możliwych funkcji odległości (norm), które można zdefiniować, ale większość z nich nie pozwala na zdefiniowanie kątów w spójny sposób. Kąty są definiowane na podstawie iloczynu wewnętrznego (iloczynu skalarnego) i jest on definiowany tylko wtedy, gdy norma jest zgodna z wyrażeniem kwadratowym$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ dla dowolnych wektorów $u$ i $v$.
W przestrzeni o innej normie rotacji jest mniej. Może istnieć tylko skończona liczba możliwych obrotów koła lub kuli. „Stożek” w 3D$(x,y,z)$ określony przez $||x+y||=||z||$ nadal mogą być przecinane przez płaszczyzny i znalezioną rodzinę krzywych (niekwadratowych).
W zwykłej geometrii definiowane są kąty, więc istnieje wyrażenie kwadratowe, które muszą być spełnione przez długości.