Czy istnieje standardowy sposób wyposażenia sigma-algebry w sigma-algebrę?

Question

Przypuszczać $(X, \mathcal X)$to mierzalna przestrzeń. Chciałbym powiedzieć coś o mierzalnych funkcjach przyjmujących wartości$\mathcal X$ale żeby to zrobić, potrzebuję $\mathcal X$ być wyposażonym w sigma-algebrę.

Czy istnieje kanoniczny sposób wyposażenia? $\mathcal X$ z sigma-algebrą $\mathcal F_\mathcal X$ abyśmy mogli mówić o mierzalnych funkcjach z $(X, \mathcal X)$ do $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Kilka pomysłów, które przyszły mi do głowy:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Ale nie widzę, żeby to było zamknięte pod komplementami.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Ale nie widzę, żeby to było zamknięte w policzalnych związkach.

Answer 1

O ile wiem, nie ma standardowego podejścia do budowy takiej mierzalnej struktury.

Potrzebowaliśmy czegoś takiego do jakiejś pracy uogólniającej procesy decyzyjne Markowa (widziane z punktu widzenia informatyki) na „niedeterminizm”. Możesz sprawdzić odniesienie w arXiv ( DOI ).

Definicja, która spełniła swoje zadanie, polegała na zadeklarowaniu pewnego podzbioru $\mathcal{X}$ mierzalne, jeśli jest w $\sigma$-algebra $H(\mathcal{X})$ generowane przez zestawy $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, gdzie $\xi$ waha się ponad $\mathcal{X}$. Motywuje to przede wszystkim budowa mierzalnej hiperprzestrzeni zamkniętych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

W rzeczywistości ograniczając się do pewnego właściwego podzbioru $\mathcal{X}$ wydaje się bardziej sensowne, ponieważ wynikowe $\sigma$-algebra jest ogromna: jeśli dobrze pamiętam, raz $X$ jest nieskończony i $\mathcal{X}$ oddziela zatem punkty $H(\mathcal{X})$ nie można policzyć.