Czy możemy zachować zachowanie pędu bez zachowania energii?

Question

Zgodnie z twierdzeniem Noether, jeśli hamiltonian jest niezmienny w tłumaczeniach w danym kierunku, to zachowany zostaje odpowiedni pęd liniowy. A jeśli hamiltonian jest niezależny od czasu, całkowita energia jest zachowana.

Zgodnie z tą logiką powinno być możliwe uzyskanie hamiltonianu, który jest niezmienny w tłumaczeniu, ale nie jest niezmienny w czasie, powiedzmy $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ gdzie $V$ jest tylko jakąś funkcją $t$. Wtedy pęd, ale nie energia, byłaby wielkością zachowaną. Czy powinno to w ogóle być sprzeczne z intuicją lub w ogóle zaskakujące, czy też jest to tylko przyziemna konsekwencja tego, jak definiujemy hamiltonian? I czy taka właściwość ma jakikolwiek związek z rzeczywistymi problemami?

Answer 1

Wystarczy dodać funkcję $V(t)$ do hamiltonianu nic nie robi - równania ruchu obejmują tylko pochodne hamiltonianu wrt $q$ i $p$, więc to nic nie zmienia w systemie, po prostu wybrałeś do tego dziwniejszy Hamiltonian. Energia jest nadal zachowana, po prostu nie jest już taka sama jak wartość hamiltonianu.

Twierdzenie Noether nie dotyczy niezmienności hamiltonianu , chodzi o niezmienność działania , aw działaniu dodanie czystej funkcji czasu do całki jest dodaniem pochodnej czasu całkowitego (całki nieoznaczonej funkcji dodanej ), co nie zmienia zachowania (nie) wariancji, o które przejmuje twierdzenie Noether.

Jeśli naprawdę chcesz systemu, w którym pęd jest zachowany, ale energia nie, musisz dodać funkcję $V(p,t)$ pędu i czasu, ale rzeczywiste systemy zwykle nie działają w ten sposób - prawie wszystkie użyteczne hamiltoniany mają postać $p^2 + V(q,t)$ zamiast tego gdzie $V(q,t)$ to potencjał zmiennego w czasie pola siłowego.

Jeśli masz więcej niż jedną pozycję $q^i$, możesz również skonstruować hamiltonian zmienny w czasie, ale zachowujący pęd, dodając funkcję $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$do Hamiltona. Nigdy wcześniej tego nie widziałem, ale przykładem zabawki mogą być dwa urządzenia, które ładują się w czasie - siła Coulomba między nimi miałaby taką formę. Energia nie jest zachowywana, ponieważ następuje napływ ładunku, a tym samym potencjał elektryczny, ale pęd jest zachowany, ponieważ to tylko dwa ciała przyciągające się / odpychające się bez udziału innych sił.