Czy można to odróżnić $\sin x$ z szacunkiem do $\cos x$ od pierwszych zasad?

Question

Robiłem dzisiaj zadanie praktyczne do testu wstępnego na uniwersytet, w którym poprosiłem mnie o rozróżnienie $\sin x$ z szacunkiem do $\cos x$. W rozwiązaniu, które znalazłem, zastosowano regułę łańcuchową:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Jednak im więcej myślałem o tym problemie, tym bardziej czułam się trochę nieswojo. Naprawdę nie rozumiem, co to znaczy rozróżniać funkcję względem innej funkcji, jeśli jest to w ogóle możliwe. Więc starałem się różnicować$\sin x$ z szacunkiem do $\cos x$ od pierwszych zasad, żeby wiedzieć, nad czym pracuję:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Ideą tego było leczenie $\cos x$tak jak każdą inną zmienną. Jednak to dało mi nieprawidłową odpowiedź$(\cos \circ \cos)(x)$i nie mogę zrozumieć, dlaczego. Czy istnieje intuicyjny sposób myślenia o tym, co to znaczy rozróżniać funkcję w odniesieniu do innej funkcji?

Answer 1

Chcesz zmierzyć zmianę w $\sin{x}$ w odniesieniu do zmiany $\cos{x}$. Więc chcesz$\sin{x}$ jako funkcja $\cos{x}$, co nie jest tym samym, co $\sin(\cos{x})$. Na tym polega twój podstawowy problem.

Czego chcesz: jeśli $x \in [0, \pi]$, następnie $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, a więc \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} zgodnie z życzeniem.

Ćwiczenie: co się dzieje, kiedy $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Zestaw $y=\cos x$, więc dla $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Jeśli chodzi o limit to powinieneś napisać $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$