Dla jakich wartości $\alpha$ jest { $z_n$} ograniczona sekwencja?
Gdzie $\alpha$ jest rzeczywistą stałą, rozważ sekwencję {$z_n$} określony przez $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Dla której wartości$\alpha$ jest {$z_n$} ograniczona sekwencja?
Jak zacząć od tego rodzaju pytania? Myślę, że$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ sekwencja jest zbieżna i dlatego ograniczona, ale jak to zapisać?
Odpowiedzi
Jeśli $\alpha=0$, $(z_n)$ jest stała, a więc ograniczona.
Jeśli $\alpha>0$, $(z_n)$ zbiega się do 0 i dlatego jest ograniczony.
Jeśli $\alpha<0$, $(z_n)$ różni się od $+\infty$ i dlatego jest nieograniczony.
Jak stwierdzam w komentarzu, masz poprawną odpowiedź. Pozostaje tylko formalne wyjaśnienie odpowiedzi. Jeden ze sposobów napisania odpowiedzi jest następujący:
Po pierwsze, zauważamy, że function $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ określony przez $f(x) = x^{\beta}$ spełnia $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ Podejrzewam, że nie musisz formalnie udowadniać tego stwierdzenia: jest prawdopodobne, że w podręczniku jest stwierdzenie, do którego możesz się odnieść.
Po ustaleniu tego rozwiąż problem w programie $3$ Przypadki: w takim przypadku $\alpha < 0$, zakończ, korzystając z powyższego faktu, że $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, co oznacza, że sekwencja nie jest ograniczona. W takim razie$\alpha = 0$, stwierdzić, że $z_n \to 0$, co oznacza, że sekwencja jest zbieżna i dlatego jest ograniczona. Podobnie, jeśli$\alpha > 0$, stwierdzić, że $z_n \to 0$, co oznacza, że sekwencja jest zbieżna, a zatem ograniczona.
W związku z tym wnioskujemy, że sekwencja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha \geq 0$.