Dlaczego jest tak, że relacje kongruencji zwykle odnoszą się do jakiegoś typu podobiektu?
Z punktu widzenia algebry uniwersalnej, struktury ilorazowe struktur algebraicznych są budowane za pomocą https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. Jeśli$A$ jest strukturą algebraiczną (zbiorem zawierającym kilka operacji na zbiorze) und $R$ relacja kongruencji na zbiorze, a następnie iloraz $A/R$ jest dobrze zdefiniowana i będzie strukturą algebraiczną tego samego typu.
Otóż, jak się okazuje, w poszczególnych kategoriach algebraicznych te relacje zgodności są dalej $A$ odpowiadają dokładnie pewnemu typowi podobiektu $A$. Na przykład relacje kongruencji na pierścieniu odpowiadają dokładnie ideałom tego pierścienia; relacje kongruencji na grupie odpowiadają dokładnie normalnym podgrupom tej grupy; relacje kongruencji w module odpowiadają dokładnie podmodułom tego modułu.
Dlaczego jest tak, że relacje kongruencji zwykle odnoszą się do jakiegoś typu podobiektu? Czy jest to ogólne zjawisko, które można uogólnić na wszystkie struktury algebraiczne (badane w tym uogólnieniu przez algebrę uniwersalną)?
Odpowiedzi
Przypomnij sobie, że kongruencje dalej $A$ można postrzegać jako pewne podalgebry jej kwadratu $A^2,\,$ na przykład https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
W algebrach jak grupy i pierścienie, gdzie możemy normalizować $\,a = b\,$ do $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$kongruencje są określane przez jedną klasę kongruencji (np. ideał w pierścieniu). Ma to wpływ na załamanie wspomnianej relacji między kongruencjami z podalgebrami z $A^2$ aż do $A.\,$ Takie algebry nazywane są odmianami idealnie zdeterminowanymi i są one szeroko badane.
Jedną z odpowiedzi na twoje pytanie jest to, że odmiany zdeterminowane idealnie charakteryzują się dwiema właściwościami swoich kongruencji, a mianowicie bytem $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ i $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. Poniżej znajduje się fragment jednego artykułu na pokrewne tematy, który stanowi dobry punkt wyjścia do literatury na ten i pokrewne tematy.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano i Aldo Ursini
- Przedmowa
Zadano nam następujące pytania:
- (a) Do czego służą ideały algebry uniwersalnej?
- (b) Do czego służą odmiany subtraktywne?
- (c) Czy istnieje powód, aby badać definiowalność głównych ideałów?
Będąc w środku projektu obejmującego odmiany subtraktywne, wydaje się, że jest to właściwe miejsce, aby się nimi zająć.
Do (a). Pojęcie ideału w algebrze ogólnej [13], [17], [22] ma na celu odtworzenie pewnych zasadniczych właściwości klas kongruencji$0$, dla niektórych podana stała $0$. Obejmuje: normalne podgrupy, ideały w pierścieniach lub grupach operatorów, filtry w algebrach Boole'a lub Heytinga, ideały w algebrze Banacha, w grupach l oraz w wielu bardziej klasycznych ustawieniach. W pewnym sensie jest to luksus, jeśli zadowala się pojęciem „klasy kongruencji”$0$W ten sposób po części pytanie mogłoby brzmieć: Dlaczego ideały w pierścieniach? Dlaczego normalne podgrupy w grupach? Dlaczego filtry w algebrach Boole'a? I wiele innych. Nie mamy ochoty próbować odpowiadać na te pytania. a) nasuwa podobne pytania: Do czego służą podalgebry w algebrze uniwersalnej i wiele innych. Być może całe przedsięwzięcie zwane „algebrą uniwersalną” jest po to, aby odpowiedzieć na takie pytania?
Powiedziawszy to, jest jasne, że najbardziej odpowiednim ustawieniem dla teorii ideałów jest ustawienie idealnie zdeterminowanych klas (mianowicie przy odwzorowywaniu kongruencji E na jej $0$-klasa $\,0/E$ustanawia izomorfizm kraty między siatką kongruencji i idealną). Pierwsza praca w tym kierunku [22] nosiła to w tytule.
Okazuje się, że - dla odmiany V - determinacja idealna jest połączeniem dwóch niezależnych cech:
V ma $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ kongruencje, mianowicie dla wszelkich kongruencji $\rm\,E,E'$ dowolnego członka $V,$ z $\,\rm 0/E = 0/E'$ wynika $\rm\,E = E'$.
V ma $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ kongruencje, mianowicie dla wszelkich kongruencji $\,\rm E,E'$ dowolnego członka $V,$ Jeśli $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ potem dla niektórych $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
Nie jest to prawdą „zwykle”; na przykład nie jest to prawdą dla monoidów lub półksiężyców. To bardzo szczególny fakt, że dotyczy to grup i pierścieni, aw obu przypadkach jest to prawdą z tego samego powodu: obecność odwrotności pozwala zastąpić myślenie o relacji równoważności$a \equiv b$ z myśleniem o $b^{-1} a \equiv 1$ dla grup (tworzących normalne podgrupy) i $a - b \equiv 0$ do pierścionków (tworzenie ideałów).
Zauważ również, że ściśle mówiąc, ideały nie są podobiektami w kategorii pierścieni (z tożsamością).
Na ogół jest to fałszywe . Fakt, że zachodzi w grupach i pierścieniach, wynika z faktu, że w każdym przypadku mamy operację z tożsamością i odwrotnością, a mianowicie odpowiednio operację grupową lub dodawanie pierścienia.
Dopóki mamy taką operację, każda kongruencja jest rzeczywiście określona przez jedną klasę. Aby to zobaczyć, przypuśćmy$S$ jest strukturą z odwracalną operacją $*$, $a\in S$, i $\sim,\approx$ są kongruencje na $S$ z $[a]_\sim=[a]_\approx$. Naprawić$b\in S$; chcemy pokazać$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (z którego otrzymamy przez symetrię i uniwersalne uogólnienie $\sim=\approx$).
Przypuszczać $b\sim c$. Następnie$b b'a\sim cb'a$, gdzie $x'$ oznacza $*$-odwrotność $x$. To znaczy$a\sim cb'a$i tak od tego czasu $[a]_\sim=[a]_\approx$ dostajemy $a\approx cb'a$. Teraz cofamy poprzedni krok: mnożymy po prawej przez$a'b$ dostać $b\approx c$ zgodnie z życzeniem.