Gęstość i rozkłady tych numerycznie lub analitycznie ZNANYCH rozwiązań Riemanna $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Jan 05 2021

Wiemy, że przypuszczenie na temat hipotezy Riemanna zakłada, że ​​nietrywialne zera są włączone $$(1/2 + r i)$$ dla niektórych $r \in \mathbb{R}$ funkcji zeta Riemanna.

Moje pytanie brzmi, ile wiadomo o gęstości i rozkładach tych numerycznie lub analitycznie ZNANYCH rozwiązań$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Znalazłem pokrewny post, ale było to jakieś 8 lat temu, więc może mamy lepszą aktualizację?

Średnia gęstość nietrywialnych zer funkcji zeta Riemanna

Odpowiedzi

3 ClaudeLeibovici Jan 05 2021 at 11:16

Moim skromnym zdaniem kluczowym artykułem jest ten opublikowany w roku $2014$przez G.Franca i A.LeClair . W szczególności zapewniają bardzo dobre i proste przybliżenie (równanie$(229)$ w powiązanym artykule). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ gdzie $W(.)$ jest funkcją Lamberta;

Powtarzając niektóre z ich obliczeń dla $n=10^k$, mamy $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

2 MatsGranvik Jan 19 2021 at 00:11

Mathematica 8.0.1 wyprowadzenie przybliżenia Erica Weissteina dla punktów Grama:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Zmodyfikowane wyprowadzenie Mathematica 8.0.1 przybliżenia Erica Weissteina dające punkty Franca-LeClaira:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14,521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

Podstawowa trudność w uzyskaniu dokładnej asymptotyki zer zeta Riemanna polega na tym, że funkcja Riemanna-Siegela theta nie jest odwracalna. User reuns zwrócił mi uwagę, że dokładna asymptotyka zer zeta Riemanna jest znana od około 120 lat, a dokładna asymptotyka jest funkcjonalną odwrotnością funkcji Riemanna-Siegela theta, zgodnie z francuską Wikipedią.