Grupa automorfizmu wykresu Cayleya

Question

Pozwolić $G$być grupą. Pozwolić$\Gamma = \Gamma(G,X)$ być wykresem Cayleya $G$ zdefiniowane w odniesieniu do generatora $X$. Chcę to pokazać$G\cong \text{Aut}(\Gamma)$. Zauważ, że przez$\text{Aut}(\Gamma)$Ja nie odnosząc się do grupy automorfizmem bazowego undirected wykresu, lecz szczegółowy wykres gdzie każda krawędź jest skierowana i etykietowane z odpowiedniego generatora.

Na przykład na poniższym ukierunkowanym i oznaczonym wykresie jest tylko jeden nietrywialny automorfizm: ten, w którym wysyłam $1$ do $4$. Rzeczywiście, reszta automorfizmu jest jednoznacznie określona przez opisanie obrazu pojedynczego wierzchołka pod automorfizmem.

Próbowałem śledzić ten post, ale byłem trochę zdezorientowany. Moje pytania są następujące:

1. Jak wyglądają elementy $\text{Aut}(\Gamma)$zdefiniowane? Ponieważ różni się od zwykłej definicji izomorfizmu grafu, nie byłem pewien, jak zabrać się za tworzenie tej definicji.
2. Dlaczego łatwo to dostrzec $T_h\in\text{Aut}(\Gamma)$? (Przypuszczam, że odpowiedź na to pytanie zależy od tego, w jaki sposób$\text{Aut}(\Gamma)$ definiuje.)

Answer 1

Wierzchołki wykresu Cayleya $\Gamma$ są elementami $G$, jest krawędź $(g,gs)$ dla każdego $s\in X$ (gdzie $X$ jest generatorem) i $g\in G$. Krawędź$(g,gs)$ jest oznaczony przez generator $s$. Automorfizm$\Gamma$jest permutacją zbioru wierzchołków, która indukuje permutację zbioru krawędzi, który także zachowuje etykiety krawędzi. (Wysyła każdą krawędź do krawędzi z tą samą etykietą).

Wywołaj taką funkcję $\phi:G\to G$. Fakt, że zachowuje krawędzie, oznacza$(\phi(g),\phi(gs))$ musi być przewagą dla wszystkich $g\in G,s\in S$i musi mieć taką samą etykietę $s$, co oznacza drugą współrzędną $\phi(gs)$ musi być pierwszy, $\phi(g)$razy $s$. To jest,$\phi(gs)=\phi(g)s$ dla wszystkich elementów $g\in G,s\in S$. Możesz zrobić ten sam pomysł dla krawędzi$(gs^{-1},g)$ oznaczone przez $s$ aby pokazać $\phi(gs^{-1})=\phi(g)s^{-1}$ także.

Od wszystkiego $g\in G$ są wytworami elementów $S$ i ich odwrotności, przez indukcję $\phi(g)=\phi(e)g$. To znaczy każdy oznaczony automorfizm$\phi$ z $\Gamma$ jest po prostu pomnożeniem $T_h(g):=hg$ przez element grupy $h=\phi(e)$i odwrotnie (co wynika po prostu z własności asocjacyjnej).