Jak dojść do prawidłowego wyniku dla tej całki?
Wolfram | Alpha to, o ile wiem, jedyna strona internetowa, która daje poprawne rozwiązanie tej całki ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ ponieważ wyprowadzając funkcję podaną jako wynik, otrzymujemy pierwotną funkcję.
Oto rozwiązanie: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$
Jednak w tym filmie podano niepoprawny wynik, chociaż proces integracji wydaje się prawidłowy. Jak powyżej, wiesz, że wynik jest nieprawidłowy, ponieważ wyprowadzenie funkcji wynikowej nie daje oryginalnej funkcji, którą chcieliśmy zintegrować.
Muszę dojść do prawidłowego wyniku, ale nie wiem jak.
Odpowiedzi
Jak zauważył Ninad, jest to częściowe rozwiązanie, równoważne z procesem zastosowanym w filmie, które jest ważne tylko wtedy, gdy $$\cos\frac t2$$ jest pozytywna .
Zacznij od tej tożsamości:
$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Aby zastosować to do całki, najpierw wykonaj podstawienie $t = \sqrt x$, następnie sukcesywnie zastosuj tę właściwość. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$